青岛市高三统一质量检测
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． D A B C D A C A B C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 4028 12. 132 13.?24 14．(?4,2) 15．②④
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）
22
a?ba?ca?ba?c?? ? …………………………2分
sin(A?B)sinA?sinBca?b2a2?c2?b2ac1?? ………………………………5分 ?a?b?ac?c?cosB?2ac2ac2
?B?(0,?)，?B? ………………………………………………………6分
33ab（Ⅱ）由b?3，sin A?，，得a?2 ……………………………7分 ?3sinAsinB6由a?b得A?B，从而cos A?， …………………………………………9分
33?32故sin C?sin(A?B)?sin Acos B?cos Asin B? …………………10分
613?32所以?ABC的面积为S?absin C?. ……………………………12分
2217．（本小题满分12分）
3
解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为C20，选出3人中任意两个均不属于同一学院
111111111111的方法数为C4 ……………………4分 ?C6?C4?C4?C6?C6?C4?C4?C6?C6?C4?C6111111111111C4?C6?C4?C4?C6?C6?C4?C4?C6?C6?C4?C68所以P? …………………6分 ?3C2019（Ⅱ）?可能的取值为0,1,2,3
321C16C16C5?7?16288?15?48P(??0)?3??,P(??1)?34??,
C203?20?1957C203?20?1919123C16C4C416?6841P(??2)???,P(??3)???…………10分 33C203?20?1995C203?20?19285所以?的分布列为
? P 所以E(?)?0 28 571 2 3 1 2858 198 95
2888157……………………………………12分 ?0??1??2??3?5719952859518．（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连结A1D交AD1于G， 因为ABCD?A1B1C1D1为四棱柱， 所以四边形ADD1A1为平行四边形， 所以G为A1D的中点，
又E1为 A1B1中点，所以E1G为?A1B1D的中位线， 从而B1D//E1G ……………………………………4分 又因为B1D?平面AD1E1，E1G?平面AD1E1，
所以B1D//平面AD1E1． …………………………5分
zB1 E1 A1 C1 G D1 B xA H C D y
（Ⅱ）因为AA1?底面ABCD，AB?面ABCD，AD?面ABCD，
所以AA1?AB,AA1?AD,又?BAD?900，所以AB,AD,AA1两两垂直. ……………6分 如图，以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标从而AC?(t,1,0)，BD?(?t,3,0).
因为AC?BD，所以AC?BD??t?3?0?0，解得t?3. ……………………8分
2系. 设AB?t，则A?0,0,0?，B?t,0,0?，C?t,1,0?，D?0,3,0?，C1?t,1,3?，D1?0,3,3?.
所以AD1?(0,3,3)，AC?(3,1,0).
??AC?n1?0,??3x1?y1?0设n1?(x1,y1,z1)是平面ACD1的一个法向量，则?即?
3y?3z?0??11?AD1?n1?0.?令x1?1，则n1?(1,?3,3). …………………………………………………………9分
又CC1?(0,0,3)，CD?(?3,2,0).
设n2?(x2,y2,z2)是平面CDD1C1的一个法向量，则?令x2?1，则n2?(1,??CC1?n2?0,??CD?n2?0.即???z2?0???3x2?2y2?0
3,0). ………………………………………………………10分 23?(?3)?3?0|n1?n212?? ?cos?n1,n2??73n1?n21?3?3?1??041?平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）的余弦值. ……………………………12分
7|1?1?19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，
10?9?d?100 2解得a1?1,d?2，所以an?2n?1 ………………………………………………………3分
则a10?a1?9d?19,S10?10a1?所以b1?b2?b3bn?1?bn?2n?1 …… ①
当n?1时,b1?3
当n?2时,b1?b2?b3①②两式相除得bn?bn?1?2n?1……②
2n?1(n?2) 2n?1因为当n?1时,b1?3适合上式，所以bn?（Ⅱ）由已知cn?(?1)得cn?(?1)nn2n?1(n?N?)………………………………6分 2n?14n?bn， 2(2n?1)4n11?(?1)n(?)
(2n?1)(2n?1)2n?12n?1则Tn?c1?c2?c3??cn
1111111??(1?)?(?)?(?)??(?1)n(?) ………………………7分
335572n?12n?1当n为偶数时，
1111111Tn??(1?)?(?)?(?)??(?1)n(?)
335572n?12n?11111111?(?1?)?(?)?(??)??(?)
335572n?12n?112n ………………………………………………………………9分 ??1???2n?12n?1当n为奇数时，
1111111Tn??(1?)?(?)?(?)??(?1)n(?)
335572n?12n?11111111?(?1?)?(?)?(??)??(??)
335572n?12n?112n?2 ……………………………………………………………11分 ??1???2n?12n?1?2n?,n为偶数??2n?1综上：Tn??… ………………………………………………………12分
2n?2??,n为奇数?2n?1?20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为直线l与圆O相切 所以圆x2?y2?m2的圆心到直线l的距离d??231?k22，从而m2?(1?k2)…2分
33?x22??y?1222由?2 可得：(1?2k)x?4kmx?2m?2?0 ?y?kx?m?设E(x1,y1)，F(x2,y2)
2m2?24km则x1?x2??，x1x2? …………………………………………………4分
1?2k21?2k2所以OE?OF?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?m)(kx2?m)
2m2?2?4k2m2?(1?k)x1x2?km(x1?x2)?m?(1?k)??m2221?2k1?2k
22223m?2k?22(1?k)?2k?2???0221?2k1?2k所以OE?OF ………………………………………………………………………………6分
222x12x222（Ⅱ）直线l与圆O相切于W，?y1?1,?y22?1,
22EW????FWOE?r2OF?r222?2x?y?3?222x2?y2?32121x121?23 ………………………………8分 2x21?23由（Ⅰ）知x1x2?y1y2?0，
22 ?y12y2?x1x2??y1y2，即x12x224?2x12x12x22从而xx?(1?)(1?)，即x2?
2?3x12222212x121?2?3x1223 ……………………………………………………………12分 ????24x21?231因为?2?x1?2，所以??[,2] ………………………………………………13分
221．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）原函数定义域为(?1,??)，g?(x)?ln(x?1)?1，则
g(0)?0，g?(0)?1，?l:y?x ………………………………………………………2分
12?y?x?kx?1??x2?2(k?1)x?2?0 由?2?y?x?l与函数f(x)的图象相切，
???4(k?1)2?8?0?k?1?2………………………………………………………4分
121x?kx?1?ln(x?1)?1,h?(x)?x?k? 2x?11令?(x)?x?k?,
x?11x(x?2)??0对x?[0,2]恒成立， 因为??(x)?1?(x?1)2(x?1)21 所以?(x)?x?k?，即h?(x)在[0,2]上为增函数 ………………………………6分
x?17 ?h?(x)max?h?(2)?k?
3h(x)在[0,2]上单调递减
7?h?(x)?0对x?[0,2]恒成立，即h?(x)max?k??0
37?k?? …………………………………………………………………………………8分
3（Ⅲ）当x?[0,e?1]时，g?(x)?ln(x?1)?1?0
（Ⅱ）由题h(x)??g(x)?(x?1)ln(x?1)在区间[0,e?1]上为增函数， ?x?[0,e?1]时，
1e …………………………………………………………………………10分 21f(x)?x2?kx?1的对称轴为：x??k，?为满足题意，必须?1??k?4……11分
212此时f(x)min?f(?k)?1?k，f(x)的值恒小于f(?1)和f(4)中最大的一个
2对于?t?[0,e?1]，总存在x1,x2?(?1,4)，且x1?x2满足f(xi)?g(t)(i?1,2)，1?[0,e]?(f(x)min,min{f(?1),f(4)})
2??4?k?1??1??k?4?12?f(x)?0?1?k?0min?2?????1e?f(4)??1 …………………………………………………13分 ?2?2e?4k?9?1?e?f(?1)??1e?3?k?2??2219?e??k??2……………………………………………………………………14分 840?g(x)?