二00八年湖南省高中数学竞赛试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）
1.定义集合运算: A?B??z|z?xy,x?A,y?B?.设A??2,0?，B??0,8?，则集合A?B的所有元素之和为（ ）
A.16 B.18 C. 20 D.22 2.已知?an?是等比数列，a2?2,a5?1，则a1a2?a2a3?????anan?1n?N?的取值范围是（ ） 4??A.?12,16? B.?8,16? C. ?8,?32??1632?? D. ?,? ?3??33?3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（ ）
A.
31550 B. C. D. 515881４．已知a、b为非零的不共线的向量，设条件M:b?a?b；条件N:对一切x?R，不等式
??a?xb?a?b恒成立．则M是N的（ ）
Ａ．必要而不充分条件 Ｂ．充分而不必要条件 Ｃ．充分而且必要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件 5．设函数f(x)定义在R上，给出下述三个命题：
①满足条件f(x?2)?f(2?x)?4的函数图象关于点?2,2?对称；②满足条件
f(x?2)?f(2?x)的函数图象关于直线x?2对称；③函数f(x?2)与f(?x?2)在同一坐标系
中，其图象关于直线x?2对称.其中，真命题的个数是
（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
6.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27和43，
M、N分别为AB、CD的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：
①弦AB、CD可能相交于点M ②弦AB、CD可能相交于点N ③MN的最大值为5 ④MN的最小值为1
其中真命题为（ ）
A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④
7.设a?sin(sin2008)，b?sin(cos2008)，c?cos(sin2008)，d?cos(cos2008),则
0000a,b,c,d的大小关系是（ ）
Ａ．a?b?c?d Ｂ．b?a?d?c Ｃ．c?d?b?a Ｄ．d?c?a?b
8. 设函数f(x)?x3?3x2?6x?14，且f(a)?1，f(b)?19，则a?b?（ ）
A.2 B.1 C.0 D.?2
二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）
9．在平面直角坐标系中，定义点P?x1,y1?、Q?x2,y2?之间的“直角距离”为
d(P,Q)?x1?x2?y1?y2.若C?x,y?到点A?1,3?、B?6,9?的“直角距离”相等，其中实
数x、y满足0?x?10、0?y?10，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为 ． 10.已知集合???x,y?|x2?y2?2008，若点P(x,y)、点P?(x?,y?)满足x?x?且
??y?y?，则称点P优于P?. 如果集合?中的点Q满足：不存在?中的其它点优于Q，则
所有这样的点Q构成的集合为 ． 11.多项式1?x?x2?????x100??的展开式在合并同类项后，x3150的系数为 .（用数字作
答）
12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为
9，底面周长为3，则这个球的体积为 . 813.将一个4?4棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有 不同的染法.（用数字作答）
14.某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk?xk,yk?处，其中x1?1,y1?1，当k?2时，
??k?1??k?2?x?x?1?5?5?;k?1?????k55???? ??yk?yk?1??k?1???k?2?.???5????5???其中，?a?表示实数a的整数部分，例如?2.6??2，?0.6??0. 按此方案，第2008棵树种植点的坐标为 .
三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.）
15．（本小题满分14分）设实数a,b???,??，求证：
ba????? ab??
其中等号当且仅当a??,b??或a??,b??成立，?,?为正实数.
１6．（本小题满分14分）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）．对于每局比赛，甲获胜的概率为
21，乙获胜的概率为．如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷33门”．试求此项赛事爆出冷门的概率．
17. （本小题满分16分）已知函数f(x)?ln?1?x??x在区间?0,n?n?N?上的最小值为bn，令
??an?ln?1?n??bn，pk?a1a3???a2k?1k?N?，
a2a4???a2k??求证：p1?p2?????pn?
2an?1?1.
x2y2PN，??1的切线PM、18. （本小题满分18分）过直线l:5x?7y?70?0上的点P作椭圆
259切点分别为M、N，联结MN.
（1）当点P在直线l上运动时，证明：直线MN恒过定点Q； （2）当MN∥l时，定点Q平分线段MN.
二00八年湖南省高中数学竞赛试题
参考答案及评分标准
说明：
1.评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分.
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时参照本评分标准适当档次给分.
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）
1.解：集合A?B的元素：z1?2?0?0，z2?2?8?16，z3?0?0?0，z4?0?8?0，故集合A?B的所有元素之和为16. 选A.
1a1132. 解: 设?an?的公比为q，则q?5?4?，进而q?.
2a228所以，数列?anan?1?是以a1a2?8为首项，以q?21为公比的等比数列. 4a1a2?a2a3?????anan?11??8?1?n?4?32???1?4?n.
131?4??显然，8?a1a2?a1a2?a2a3?????anan?1?32. 选C. 353. 解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为3?243种. 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：第1类 ，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为
132112第2类，一场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数为C3C3?C5?A2?60种；?C5?C4?90种. 故每个场馆至少有一名志愿者的概率为P?60?9050?.选D. 24381４． 解：设OA?a，OB?b，则xb表示与OB共线的任一向量，a?xb表示点A到直线OB上任一点C的距离AC，而a?b表示点A到B的距离. 当b?a?b时，AB?OB.由点与直线之间垂直距离最短知，AC?AB，即对一切x?R，不等式a?xb?a?b恒成立．反之，如果
??AC?AB恒成立，OB?AC，则?AC?min?AB，故AB必为点A到OB的垂直距离，即b?a?b.
选C.
5．解：用x?2代替f(x?2)?f(2?x)?4中的x，得f(x)?f(4?x)?4.如果点?x,y?在
??y?f(x)的图象上，则4?y?f(4?x)，即点?x,y?关于点?2,2?的对称点?4?x,4?y?也在
y?f(x)的图象上.反之亦然，故①是真命题.用x?2代替f(x?2)?f(2?x)中的x，得f(x)?f(4?x).如果点?x,y?在y?f(x)的图象上，则y?f(4?x)，即点?x,y?关于点x?2的
对称点?4?x,y?也在y?f(x)的图象上，故②是真命题.由②是真命题，不难推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.
6. 解：假设AB、CD相交于点N，则AB、CD共面，所以A、B、C、D四点共圆，而过圆的弦CD的中点N的弦AB的长度显然有AB?CD，所以②是错的．容易证明，当以AB为直径的圆面与以CD为直径的圆面平行且在球心两侧时，MN最大为５，故③对．当以AB为直径的圆面与以CD为直径的圆面平行且在球心同侧时，MN最小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.故选Ａ．
7. 解：因为2008?5?360?180?28，所以，
0000a?sin(?sin280)??sin(sin280)?0；b?sin(?cos280)??sin(cos280)?0； c?cos(?sin280)?cos(sin280)?0；d?cos(?cos280)?cos(cos280)?0．
00又sin28?cos28，故b?a?d?c.故选B.
8. 解：由f(x)?x3?3x2?6x?14??x?1??3?x?1??10，令g(y)?y3?3y，则g(y)为奇
3函数且单调递增.
而f(a)??a?1??3?a?1??10?1,f(b)??b?1??3?b?1??10?19,
33所以g(a?1)??9,g(b?1)?9,g(?b?1)??9,从而g(a?1)?g(?b?1), 即a?1??b?1,故a?b??2.选D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）
9． 解：由条件得 x?1?y?3?x?6?y?9 ①
当y?9时，①化为x?1?6?x?6，无解； 当y?3时，①化为x?1?6?x?6，无解；
当3?y?9时，①化为 2y?12?x?6?x?1 ②
若x?1，则y?8.5，线段长度为１；若1?x?6，则x?y?9.5，线段长度为52；若x?6，则y?3.5，线段长度为４．综上可知，点C的轨迹的构成的线段长度之和为
1?52?4?52?1．填52?1．
10. 解:P优于P?，即P位于P?的左上方，“不存在?中的其它点优于Q”，即“点Q的左上方不存在?中的点”.故满足条件的点的集合为
????