幂等变换和幂等矩阵的性质
中文摘要:本文在已有文献资料的基础上，对幂等变换和幂等矩阵的性质作了归纳。 关键词:幂等变换，幂等矩阵，性质 正文:
（一）定义及说明
定义1.设?是数域P上线性空间V上的线性变换，且?2??，则称?为V上的幂等变换。 定义2.设A是数域P上的n级方阵，若A?A，则称A为V上的幂等矩阵。
因为数域P上n维线性空间V的全部线性变换组成的集合L?Vn(P)?对于线性变换的加法和数量乘法构成的P上的线性空间与数域P上的n级方阵构成的线性空间Pn?n2同构，即
L?Vn(P)??Pn?n。所以幂等变换?对应于幂等矩阵A,A2?A.
（二）幂等变换的一个性质及其推广[1]
定理1.设?是数域P上线性空间V的线性变换，且?2??，则有 （1）Ker(?)=????(?)|??V?,Im(?)=????(?)|??V? （2）V?Ker(?)?Im(?)
（3）若?是V的一个线性变换，则Ker(?)和Im(?)都在?之下不变的充要条件是??
n将幂等变换的定义加以推广：设?是数域P上线性空间V上的线性变换，且???，则称
???
?为V上的幂等变换。
n对于满足???的线性变换有类似性质
n定理2. 设?是数域P上线性空间V的线性变换，且???（n?2），则有 n?1n?1（1）Ker(?)=???(?)|??V，Im(?)=???(?)|??V
????（2）V?Ker(?)?Im(?)
（3）若?是V的一个线性变换，则Ker(?)和Im(?)都在?之下不变的充要条件是
?n?1????n?1
n证明：已知???
（1）：???Ker?(,)即??()0?
??n?1(?)??n?2(?(?))??n?2(0)?0
??????n?1(?)?????n?1(?)|??V?
n?1因此Ker(?)????(?)|??V
??n?1反之，????n?1(?)????(?)|??V，
??由?(???n?1(?))??(?)??n(?)??(?)??(?)?0
????n?1(?)?Ker(?)
n?1因此???(?)|??V???Ker(?)
?n?1从而Ker(?)=???(?)|??V
?
???Im(?),???V,使得???（?）
??n??,??n?1(?)??n?1(?(?))??n(?)??(?)??
???????n?1(?)|??V?
n?1因此Im(?)????(?)|??V
??n?1n?1反之，????(?)????(?)|??V,??V，有
?????(?n?2(?))?Im(?)
n?1因此???(?)|??V?Im(?)
??n?1从而Im(?)=???(?)|??V
??
（2）：由（1），???V,有?=(?-?1-n-n(?)+?(1)??Ker(?)+Im(?)
?V?Ker(?)+Im(?)
从而V?Ker(?)+Im(?) 又设???Ker(?)?Im(?)
由??Ker(?)??(?)?0
n?1又由??Im(?)=???(?)|??V????n?1(?)??n?2(?(?))??n?2(0)?0
??即Ker(?)?Im(?)=?0?
?V?Ker(?)?Im(?)
（3）：\?\假设Ker(?)，Im(?)都在?之下不变
???V，由（2），存在唯一的??Ker(?)，唯一的??Im(?)，使得?????
则由假设，?(?)?Ker(?)，?(?)?Im(?)
） ??n?1?(?)??n?2(?(?(?)))??n?2(0)?0，?n?1?(?)??n?1(?(?))??(?)（由（1）
??n?1?(?)??n?1?(?)??n?1?(?)?0??(?)??(?)
又?n?1(?)??n?2(?(?))??n?2(0)?0，?n?1(?)??（由（1））
???n?1(?)???n?1(???)??(?n?1(?))??(?n?1(?))??(0)??(?)??(?) ??n?1?(?)???n?1(?)
由?的任意性，?n?1????n?1
\?\若?n?1????n?1，
n?1???Ker(?)即?(?)?0，且由（1），???V使得?????(?)
??(?(?))???(???n?1(?))=??(?)????n?1
(?)???(?)???n?1?(?)???(?)??n?(?)=??(?)???(?)=0
??(?)?Ker(?)
即Ker(?)在?之下保持不变
n?1，???(?) ???Im(?)，由（1）
??n?1(?(?))??(?n?1(?))??(?)
即?n?1(?(?))??(?)
?由（1），mI()??????(?)?Im(?)
?n?1?(?)|?V?
即Im(?)也在?之下保持不变 证毕
定理1是定理2当n=2时的情形，当然也成立。
（三）幂等变换的几个等价表示
定理3.设?是数域P上的线性空间V的线性变换，则下列命题等价： （1）?2??
（2）?的特征值只能是1和0，且V?V1?V0,其中V1和V0分别是?的属于1和0的特征子空间
（3）V?Im(?)?Im(???)
2证明：\?(2)\设???，?是?的特征值，则有
?(?)???（?为?的属于特征值?的特征向量）
2由???知，?(?)??2(?)??(?(?))??(??)??(?(?))??2?
?????2??(???2)??0
??为非零向量
?(???2)?0???1或??0
又V1???|?(?)????Im(?) V0???|?(?)?0??Ker(?) 由定理1，V?Im(?)?Ker(?) 即V?V1?V0
\?(1)\如果?的特征值只能是1和0，且V?V1?V0
???V,有?唯一的?1?V1?Im(?),唯一的?2?V0?Ker(?)
使得???1??2
有?(?1)??1,?(?2)?0
??(???)(?)??(?(?1??2))??(?(?1??2))
??(?1??2)??(?(?1)??(?2)) ?(?(?1)??(?2))??(?1?0)=
?(?1?0)??(?1?0)??1??(?1)??1??1?0 由?的任意性，得?(???)?0，即?2??
\?(3)\设?2??
由(2)，V?V1?V0
???V,有???(?)?(???(?))
??(?)?Im(?),???(?)?Im(???)
?有V?Im(?)?Im(???)
设???Im(?)?Im(???)，则??1,?2?V 使得???(?1)?(???)(?2)
从而?(?)??2(?1)??(?1)??,?(?)??(???)(?2)?(???2)(?2)?0(?2)?0
???0,即Im(?)?Im(???)??0?
又0??(0)?(???)(0)
??0??Im(?)?Im(???)
因此Im(?)?Im(???)=?0? 从而V?Im(?)?Im(???)
\?(1)\如果V?Im(?)?Im(???)，则Im(?)?Im(???)=?0?
???V,有?(???)(?)??[(???)(?)]?Im(?)
(???)?(?)?(???)[?(?)]?Im(???)