??(???)(?)?(???2)(?)?(???)?(?) ??(???)(?)?Im(?)?Im(???)=?0?
从而?(???)(?)?0
由?的任意性，?(???)????2?0 即?2??
（四）幂等矩阵的一些性质
性质1.设A是n级幂等矩阵，则对?a(a?0,1),A?aE是可逆矩阵 证明：由A?A
2?(A?aE)[A?(a?1)E]
?A2?A?a(a?1)E
??a(a?1)E
?当a?0且a??1时，(A?aE){1[A?(a?1)E]}?E
?a(a?1)1[A?(a?1)E]
?a(a?1)因此A?aE可逆，且其逆矩阵为
性质2.设A为幂等矩阵，则A可以对角化
22证明：由A?A?0知g(?)????是A的化零多项式
又A的特征值只能是1和0
?A的最小多项式为g(x)?x或x?1或x2?x
且这三种情形下g(?)均无重根
故A可对角化
性质3.设A是幂等矩阵，则A的秩等于A的迹
证明：因为A的特征值只能是1和0，设A的秩为r，则
A与??Ir?00??相似 0?设?1,?2?,?n为A的全部特征值，则trA??1??2????n
?I?相似矩阵有相同的特征值，而?r?0?trA??1??2????n?r
即A的秩等于A的迹
0??的全部特征值为r个1 0?性质4.设A是秩为r的幂等矩阵则A?CB，其中BC?Er,C是秩为r的n?r矩阵 证明: A与??Ir?00??相似，即存在可逆矩阵P使得 0??IP?1AP??r?00??Ir?A?P??0??0?10??1?Ir??1 P?PI0P????r?0??0?I?Ir??Ir??1?r?令B??Ir0?P,C?P??,则秩（C）=r且BC??Ir0?PP????Ir0????Er
?0??0??0?
性质5.可逆幂等矩阵为单位矩阵 证明：A为幂等矩阵，A2?A,即AA?A 又A可逆，两边同时左（右）乘A,得
?1A?A?1A?E 即A为单位矩阵
由于幂等矩阵的性质是限制在n维条件下讨论的，所以对应幂等变换的性质也只是在有限维情况下成立，至于这些性质能否推广到无限维的情形，本文未予讨论。
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