∴PQ⊥AD，PQ⊥BC，且PN=NQ 又∠MNP=∠HNQ （对顶角相等） ∴Rt△MNP≌Rt△HNQ ∴MN=HN
又BN⊥MN，BN=BN ∴△BMN≌△BHN
∴∠MBN=∠NBH=∠NBC 故∠ABM=∠MBN=∠NBC
再由∠ABM+∠MBN+∠NBC=90° ∴∠ABM=∠MBN=∠NBC=
=30°．
故答案为：30°．
点评：本题考查了翻折变换的问题，有一定难度，熟练掌握并灵活运用翻折变换的性质是关键．
3．现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B'．则线段B'C=
cm ．
考点：翻折变换（折叠问题）。 专题：计算题。
分析：连接BB′，通过折叠，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中点，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，从而可证△BB′C为直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可将OB，BB′的长求出，在Rt△BB′C中，根据勾股定理可将B′C的值求出．
解答：解：连接BB'交AE于点O，如图所示： 由折线法及点E是BC的中点，∴EB=EB′=EC， ∴∠EBB′=∠EB′B，∠ECB′=∠EB′C； 又∵△BB'C三内角之和为180°， ∴∠BB'C=90°；
∵点B′是点B关于直线AE的对称点， ∴AE垂直平分BB′；
22222
在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO=AB﹣AO=BE﹣（AE﹣AO） 将AB=4，BE=3，AE=
=5代入，得AO=
cm；
∴BO===cm，
∴BB′=2BO=cm，
∴在Rt△BB'C中，B′C===cm．
故答案为：cm．
点评：本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的综合运用．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化． 4．（2008?包头）如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=6cm，高AD=4cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，要使矩形EGFH的面积最大，EG的长应为 2 cm．
考点：二次函数的应用。
分析：此题为二次函数的应用类试题，设EG=xcm，先根据相似求出EF，然后根据矩形面积公式求出S与x之间的解析式，运用公式求抛物线顶点的横坐标即可． 解答：解：设EG=xcm，由题意得△AEF∽△ABC， ∴∴解得EF=
=
， ，
．
．
∴S矩形EFHG=EG?EF=即S=﹣x+6x． ∴当x=
2
=2时，矩形EGHF的面积最大．
点评：本题由相似三角形的实际问题，矩形EGHF的面积的表达，把问题转化为二次函数；利用二次函数的性质解决题目的问题．具有一定的综合性． 5．（2011?青海）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是 48 mm．
考点：相似三角形的应用。
分析：利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出边长． 解答：解：∵正方形PQMN的QM边在BC上， ∴PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴．
设ED=x，
∴PN=MN=ED=x，
，
∴x=48，
∴边长为48mm． 故答案为：48．
点评：此题主要考查的是相似三角形的应用，利用相似三角形的对应高的比等于相似比是解决问题的关键．
6．如图：梯形纸片ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，沿对角线BD将其折叠，点A落在DC上，记为A′，AD=7，AB=13，则A′C= 5 ．
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理。
分析：根据已知条件，翻折前后对应边相等，利用勾股定理求解即可． 解答：解：易得△ABD≌△A'BD，
∴A'D=AD=7，A'B=AB=13，∠ADB=∠A′DB=45°， ∴在Rt△BCD中，∠BDC=∠DBC=45°， ∴DC=BC，
设A′C=x，则DC=BC=7+x，
222
∴在Rt△BCA′中，x+（7+x）=13， ∴x=5．
点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
7．如图，已知一张三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=3cm，AB=6cm，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长度为 cm．
考点：翻折变换（折叠问题）。
分析：易得∠ABC=60°．根据折叠的性质∠CBE=30°．在△BCE中运用三角函数求解． 解答：解：∵∠ACB=90°，BC=3cm，AB=6cm， ∴sinA=BC：AB=1：2， ∴∠A=30°，
∴∠CBA=∠ACB﹣∠A=60°，
根据折叠的性质知，∠CBE=∠EBA=∠CBA=30°，
∴CE=BCtan30°=cm． 点评：本题利用了：
（1）折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；
（2）直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解． 8．（2009?吉林）将一张矩形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC= 73 度．
考点：翻折变换（折叠问题）。
分析：本题考查图形折叠后的有关等量关系，注意折叠前后∠CBA=∠ABD． 解答：解：如图：∠CBE=34°， ∴∠CBD=146°，
由折叠得∠CBA=∠ABD=∠CBD=73°．
点评：本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系． 9．（2004?衢州）如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ= 30 度．
考点：翻折变换（折叠问题）；正方形的性质。 专题：计算题。
分析：根据折叠的性质知：可知：BN=BP，从而可知∠BPN的值，再根据∠PBQ=∠CBQ，可将∠PBQ的角度求出．
解答：解：根据折叠的性质知：BP=BC，∠PBQ=∠CBQ ∴BN=BC=BP ∵∠BNP=90° ∴∠BPN=30°
∴∠PBQ=×60°=30°．
故答案为30．
点评：已知折叠问题就是已知图形的全等，根据边之间的关系，可将∠PBQ的度数求出． 10．（2011?葫芦岛）两个全等的梯形纸片如图（1）摆放，将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图（2）．已知AD=4，BC=8，若阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的，则图（2）中平移距离A′A= 3 ．
考点：平移的性质；梯形。 专题：计算题。
分析：由两梯形全等，得到上底及下底对应相等，设梯形A′B′C′D′的高为h，A′A=x，则B′B=x，由上底及下底的长分别表示出AD′和BC′，根据平移的性质得到图（2）除去阴影部分左边把右边四边形的面积相等，根据阴影部分的面积等于图（2）总面积的，得到阴影部分的面积等于梯形A′B′C′D′面积的一半，由梯形的面积公式分别表示出阴影部分的面积等于梯形A′B′C′D′的面积，把各自表示出的边代入，消去h求出x的值，即为平移距离A′A的长． 解答：解：∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′全等， ∴AD=A′D′=4，BC=B′C′=8，
设梯形A′B′C′D′的高为h，A′A=x，则B′B=x， ∴AD′=A′D′﹣A′A=4﹣x，BC′=B′C′﹣B′B=8﹣x， 由平移的性质可知：S四边形A′ABB′=S四边形D′DCC′， 又∵∴
， ，
∴h（AD′+BC′）=×h（A′D′+B′C′）， 即h（4﹣x+8﹣x）=h（4+8），
化简得：6﹣x=3， 解得：x=3， ∴A′A=3． 故答案为：3
点评：此题考查了平移的性质，以及梯形的面积公式，平移的性质有：对应点的连线平行（或重合）且相等，对应线段平行（或重合）且相等．其中根据平移的性质及题意得出
是解本题的关键．