学辅教育 成功就是每天进步一点点
?结论3：曲线C?按向量a??h,k?平移后得到图象C，若C的解析式为y?f?x?，则C?的函数解析式为y?f?x?h??k； 练习：
1、将函数y?f?x?的图象按向量a?(?3,2)平移后得到y?sin2x，则f?x?等于（ D ）
（A）sin?2x?6??2 （B）sin?2x?6??2 （C）sin?2x?6??2 （D）sin?2x?6??2
2、函数y?sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y?cos2x?1， ??则a＝________ （答：(?,1)）
4?xπ??π?y?2cos???a???，?2??36?的图象按向量?4?平移，3、将则平移后所得图象的解析式?xπ?y?2cos????2?34?为（ ）
?
专题四、线段的定比分点：
1、概念：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数?，使PPP点叫做有向线段PP??PP2，则?叫做点P分有向线段PP112所成的比，12的以定比为?的定比分点；
?x????，则?设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，P(x,y)分有向线段PP12所成的比为
?y???x1??x21??，
y1??y21??当P点在线段 P1P2的延长线上时，?<－1； 当P点在线段P2P1的延长线上时，?1???0； 当λ＝0时，分点P与起点P1重合； 当λ＝1时，分点P为线段P1P2的中点
注意：①λ不可能等于－1（若λ＝－1，则P1、P2重合，与P1P2为线段矛盾）
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∴λ∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
②无论λ取何实数（当然λ≠－1）分点P不可能与终点P2重合
1???例1、若M（-3，-2），N（6，-1），且MP??MN，则点P的坐标为_______
37（答：(?6,?)）；
3???
例2、点P分MN所成的比为?且MN?NP，则?= （答：-4或2）
2、确定定比分点坐标公式中的λ （1）由坐标确定：??x?x1y?y1分点坐标?起点坐标 ??x2?xy2?y终点坐标?分点坐标|P1P|PP（不能错误的表示为??1）再据P1P|PP2|PP2（2）由PP先求|?|?1??PP2确定：与PP2的方向决定λ的符号．
例1、如图所示，已知直线l过点P(4,?9)和点Q(?2,3)，l与x轴，y轴交于M点和N点．求：点M分PQ所成的比?，点N的坐标．
解：设点M(x0,0)
?P(4,?9)，Q(?2,3)，
?点M分PQ所成的比
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??0?(?9)?3 3?0设N点分PQ所成的比为??，同理可得???2
?yN??9?2?3??1
1?2?N点坐标是(0,?1)
例2、如图所示，已知矩形ABCD中，A(2,1)，B(5,4)，C(3,6)，E点是CD边的中点，连结BE与矩形的对角线AC交于F点，求F点坐标．
??ABF∽?CEF，解：且AB?2CE ?四边形ABCD是矩形，E是CD边的中点，
?AF?2CF
即点F分AC所成的比??2
设F(x,y)．由A(2,1)，C(3,6)，根据定比分点坐标公式得
2?2?381?2?613?，y?? 1?231?23813?F点坐标是(,)
33x?
例3、若直线y??ax?2与连接P??2,1?、Q?3,2?两点的线段有交点，求实数a的取值范围．
3. 24 当直线过Q点时，有?3a?2?2，∴a??.
3解：当直线过P点时，有2a?2?1，∴a?当直线与线段PQ的交点在P、Q之间时，设这个交点M分PQ的比为?，它的坐标为M?x0,y0?，则
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?2?3?1?2?，y0?. 1??1??1?2??2?3???a??2， 而直线过M点，则
1??1??2a?3 整理，得??.
3a?4432a?3?0，解得a??或a?. 由??0，得
323a?443 故所求实数a的取值范围为a??或a?。
32x0?练习：
1、已知A（m，－n)，B(－m，n)，点C分AB的比为－2，那么点C的坐标为（ B ）
A.（－m，n)
B.(－3m，3n) C.(3m，－3n)
D.(m，n)
2、已知A（－1，－1），B（0，1），则下列各点在直线AB上的是（ D ）
A.（0，3） C.（2，4）
B.（1，1） D.（2，5）
3、已知P（4，－9），Q（－2，3），y轴与线段PQ的交点为M，则M分PQ所成的比为（ C ） A.1
3
B.1 C.2
2 D.3
4、已知A（－1，－2），B（4，8），C（5，x）三点共线，则点C分有向线段AB所成的比λ= －6 ，x= 10 .
5、已知两点P（－5），P（－1，－2），在P1P2的延长线上有一点P，使得|P1P|=15， 13，2则P点坐标为 （－9，4） .
6、已知△ABC三个顶点为A（4，5），B（－2，－1），C（7，2），M、N分BA、AC所成的比均为1∶2，则S△AMN∶S△ABC= 2∶9 7、已知A（5，－1），B（－1，7），C（1，2），求△ABC中，∠A的平分线AD的长.
解：|AB|=
(5?1)2?(?1?7)2=10，|AC|=5，由题意|AB|?|BD|=2
|AC||DC|则D分BC所成的比 λ=2，设D（x，y)，则x=?1?2?1=1
1?23y=7?2?2=11，即D（1，11）∴|AD|=
1?2333111(5?)2?(?1?)233=1432.
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8、已知两点P1（1，3），P2（－2，6），求直线P1P2上满足|P1P|=2|PP2|的点P的坐标.
解：设P（x，y）由题意P1P=2PP2或P1P=－2PP2 则P分P1P2所成的比λ=2或－2
①若λ=2，则x=1?2?(?2)=－1，y=3?2?6=5，此时点P的坐标为（－1，5）
1?21?2②若λ＝－2，则x=1?(?2)?(?2)=－5，y=3?(?2)?6=9，即P(－5，9）.
1?21?2
专题五、向量的综合问题
例1、（1）若a与b?c都是非零向量，则“a?b?a?c”是“a?(b?c)”的（ C ）
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
（2）已知三点A(2,3),B(?1,?1),C(6,k)，其中k为常数.若AB?AC，则AB与
AC的夹角余弦值为 0或 24 25例2、设向量a，b，c满足a?b?c?0，(a?b)?c，a?b，若｜a｜=1,则
｜a｜2?|b|2+｜c｜2的值是 4 .
例3、已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|)?AC|AC|)?BC?0,且ABAC?1，2|AB||AC|则三角形ABC形状是 例4、已知射线OA、OB的方程分别为y?33x(x?0)，y??x(x?0)，动点M、33N分别在OA、OB上滑动，且MN?43。 （1）若MP?PN，求P点的轨迹C的方程；
（2）已知F1(?42,0)，F2(42,0)，请问在曲线C上是否存在动点P满足条件
PF1?PF2?0，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。 解：（1）设M(x1,33x1)(x1?0),N(x2,?x2)(x2?0)，P(x,y)， 3310