学辅教育 成功就是每天进步一点点
77115｝是等比数列，其首项为x2-x1+=, 4447115其公比q=5。于是xn-xn-1+=25n-2 ??（3）
44｛xn-xn-1+
由（1）与（3）消去xn-1得 xn=
1(2325n-28n-23) 16例3、设x1=1，且xn=-xn-1+322n，（n=2,3,?）???（1） 求数列｛xn｝的通项公式
解：x2=-x1＋12=11。于是（1）把n改成n-1得
xn-1=-xn-2+322n-1，2xn-1=-2xn-2+322n ??????（2） （1）
－（2）得xn-2xn-1=-xn-1+2xn-2。即xn=xn-1+2xn-2
22xn-2)。 令m=，则m=1,m=-2 m?1m?1 xn＋mxn-1=(m+1)(xn-1＋
于是：xn+xn-1=2(xn-1+xn-2)；xn-2xn-1=-(xn-1-2xn-2)
｛xn+xn-1｝与｛xn-2xn-1｝都是等比数列，其首项与公比分别为首项x2+x1=12，公比q=2。 首项 x2-2x1=9，公比q=-1。 于是 xn+xn-1=1222n-2，xn-2xn-1=9(-1)n-2 由此消去xn-1得xn=2n+1+3(-1)n
例4、设x1=2,且xn=3xn-1＋2n2＋1，求数列｛xn｝的通项公式
解：所给的递推公式可变为
第三类别：an=Aan-1+Ban-2
例1、设x1=1，x2=5,xn=13xn-1-22xn-2,（n=3,4,?）求数列｛xn｝的通项公式
解：所给的递推公式可变为
xn+mxn-1=（m+13）xn-1-22xn-2=（m+13）（xn-1-令m=-22，则m=－2,或m=－11 m?1322xn-2） m?13于是xn-2xn-1=11（xn-1-xn-2）,xn-11xn-1=2(xn-1-xn-2)
｛xn-2xn-1｝，｛xn-11xn-1｝都是等比数列，其首项与公比分别为x2-2x1=3,q=11。
36
学辅教育 成功就是每天进步一点点
X2-11x1=-6,q=2。
于是xn-2xn-1＝3211n-2，xn-11xn-1=-622n-2。 由此消去xn-1可得xn=(11n-1+2n)/3
例2、设x1=1,x2=2。且xn=7xn-1+18xn-2（n=3,4,?）求数列｛xn｝的通项公式
解：所给的递推公式可变为 xn+mxn-1=(m+7)xn-1+18xn-2=(m+7)(xn-1+令m=
18，则m=2,或m=-9 m?718xn-2) m?7xn+2xn-1=9(xn-1+2xn-2),xn-9xn-1=-2(xn-1-9xn-2)
｛xn+2xn-1｝与｛xn-9xn-1｝都是等比数列，其首项与公比分别为x2+2x1=4，q=9。X2-9x1=-7，q=-2
xn+2xn-1=429n-2，xn-9xn-1=-7(-2)n-2
由此消去xn-1可得xn=（429n-1+72(-2)n-1）/11
5、倒数法：an?1?can1d11(c?0,d?0),取倒数变成?? an?dan?1cancan,求数列?an?的通项公式. 2an?1例1、已知数列?an?(n?N*)中, a1?1,an?1?an11?2?,取倒数得:
2an?1an?1an解：将an?1??1?111??2,???是以?1a1an?1an?an?为首项,公差为2的等差数列.
11?1?2(n?1),?an?.
2n?1an例2、已知数列｛an｝满足：an?an?1,a1?1，求数列｛an｝的通项公式。
3?an?1?1解：取倒数：
13?an?1?11 ??3?anan?1an?1?1?111 ???是等差数列，??(n?1)?3?1?(n?1)?3?an?3n?2ana1?an?练习：
37
学辅教育 成功就是每天进步一点点
1、已知数列｛an｝满足：a1＝的通项公式；
解：（1）将条件变为：1－
33nan－1，且an＝ 求数列｛an｝（n?2，n?N?）22an－1＋n－1nn1n－1＝（，因此｛1－｝为一个等比数列，1－）anan3an－11n?3n1n11其首项为1－＝，公比，从而1－＝n，据此得an＝n（n?1）
33－1a1an33
2、已知数列?an?中, ,an?1?
r6、对数法：an?1?pan(p?0,an?0)
2an,求数列?an?的通项公式. an?212?an(a?0)，求数列?an?的通项公式. a121解：由an?1??an两边取对数得lgan?1?2lgan?lg，
aa11令bn?lgan，则bn?1?2bn?lg，再利用待定系数法解得：an?a()2n?1。
aa
例1、已知数列｛an｝中，a1?1,an?1?7、特征根法：递推公式为an?2?pan?1?qan（其中p，q均为常数）。 解：对于由递推公式an?2?pan?1?qan，a1??,a2??给出的数列?an?，方程
x2?px?q?0，叫做数列?an?的特征方程。 若x1,x2是特征方程的两个根，
n?1当x1?x2时，数列?an?的通项为an?Ax1n?1?Bx2，其中A，B由a1??,a2??决n?1定（即把a1,a2,x1,x2和n?1,2，代入an?Ax1n?1?Bx2，得到关于A、B的方程组）；
当x1?x2时，数列?an?的通项为an?(A?Bn)x1n?1，其中A，B由a1??,a2??决
38
学辅教育 成功就是每天进步一点点
定（即把a1,a2,x1,x2和n?1,2，代入an?(A?Bn)x1n?1，得到关于A、B的方程组）。
例1、数列?an?：3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)， a1?a,a2?b,求an 解：数列的特征方程是：3x2?5x?2?0。?x1?1,x2?2, 32n?1?A?B?()n?1。又由a1?a,a2?b，于是 ?an?Ax1n?1?Bx23?a?A?B?A?3b?2a2n?1?a?3b?2a?3(a?b)() 故?2??n3B?3(a?b)b?A?B??3?
例2、已知数列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?key:an?731n?1?(?)。 44321an?1?an，求an。 33
例3、已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*).求数列?an?的通项公式；
高考赏析
1、（辽宁卷）已知等差数列?an?的前n项和为Sn?pn2?2a?q(p,q?R),n?N （Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，bn满足an?2log2bn，求数列的{bn}前n项和. (Ⅰ)解：当n?1时，a1?S1?p?2?q,
当n?2时,an?Sn?Sn?1?pn2?2n?q?p(n?1)2?2(n?1)?q?2pn?p?2.
?an?是等差数列,?p?2?q?2p?p?2,?q?0
39
学辅教育 成功就是每天进步一点点
(Ⅱ)a1?a1?a5,?a3?18.又a3?6p?p?2,?6p?p?2?18,?p?4 2?an?8n?6
又an?2log2bn得bn?24n?3bn?124(n?1)?1.?b1?2,?4n?3?24?16,即?bn?是等比数列.
bn22(1?16n)2?(16n?1) 所以数列?bn?的前n项和Tn?1?1615
练习：
1、在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（ ） A． 40 B． 42 C． 43 D． 45 2、设数列{an}的前n项和 A ． 15 B． 16 ，则a8的值为（ ）
C． 49 D． 64 3、数列1，﹣3，5，﹣7，9，?的一个通项公式为（ ） A． an=2n﹣1
C． an=（﹣1）n（2n﹣1）
4、已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?2an?1(n?N?)，则a5? A．?16
B．16
C．31
D．32
B． an=（﹣1）n（1﹣2n） D． an=（﹣1）n（2n+1）
5、在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1+a4=18，a2+a3=12，那么该数列的前8项之和为（ ） A． 513 B． 512 C． 510 D． 6、已知数列{an}满足：a1=1，an=2an﹣1+1（n≥2），则a4=（ ） A． 30
B． 14
C． 31
D． 15
7、设等差数列?an?的公差d不为0，则k?a1?9d 若ak是a1与a2k的等比中项，
（ ）A 2 B 4 C 6 D 8 8、等差数列{an}中，已知a3?5，a2?a5?12，an?29，则n?__________． 9、在等比数列?an?中，已知a1a2a3?5，a7a8a9?40，则a5a6a7? ． 10、已知数列{an}满足an?2n?1?2n?1(n?N*)，则数列{an}的前n项和
40