天利考试信息网 www.tl100.com 天时地利 考无不胜
第六讲 求通项公式
★★★高考在考什么 【考题回放】
1、（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
。 。 。 。 。
按照以上排列的规律，第n行（n?3）从左向右的第3个数为 n2?n?62
2. (2007广东)已知数列{an}的前n项和Sn?n2?9n，则其通项an? ；若它的第k项满足5?ak?8，则k? . 2n-10 ; 8 3、（2006广东）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,?堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)?_____；f(n)?_____（答案用n表示）.
答案：f(3)?10，f(n)?n(n?1)(n?2)图4
6
4、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)如果数列{aa2,a3,...,an}满足an1,a,...是1a2an?1首项为1，公比为2的等比数列，则a100等于
A．2100
B．299
C．25050
D．24950
答案：D
5、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)将自然数0，1，2，?按照如下形式进行摆列：
，
根据以上规律判定，从2006到2008的箭头方向是( )
?
天利考试信息网 www.tl100.com 天时地利 考无不胜
答案：C
6、(2008广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）??
试用 n表示出第n个图形的边数 an=____________.
答案：3×4n1.
7、(2008江苏省启东中学高三综合测试三)如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1,2,3,?)，则第n－2个图形中共有 个顶点。
－
答案：n2+n
8、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)设函数f(x)?a1?a2x?a3x2???anxn?1，
f(0)?1，数列{an}满足f(1)?n2an(n?N*)，则数列{an}的通项an等2于 . 答案：
1
n(n?1)9、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石, 则第5件工艺品所用的宝石数为 颗；第n件工艺品所用的宝石数为 颗 (结果用n表示).
第1件 第2件
第3件 第4件
天利考试信息网 www.tl100.com 天时地利 考无不胜
答案：66，2n?3n?1 10、(福建省厦门市
2008
学年高三质量检查)已知数列
2 。 {an}中,a1?20,an?1?an?2n?1,n?N*,则数{列an}的通项a公式n＝答案：n?2n?21 ★★★高考要考什么
2S1?n?1?一、 根据数列{an}的前n项和求通项Sn= a1+ a2+ a3+ ??+ an an?? ??Sn?Sn?1?n?2?已知数列前n项和Sn,相当于知道了n≥2时候an,但不可忽视n=1. 二、由递推关系求数列的通项
1. 利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代。
2.一阶递推an?1?pan?q,我们通常将其化为?an?1?A??p?an?A?看成{bn}的等比数
列。
3.利用换元思想（变形为前一项与后一项成等差等比关系，直接写出新数列通项化简得an）。 4.对含an与Sn的题，进行熟练转化为同一种解题，注意化简时n的范围。
★ ★★ 突 破 重 难 点 【范例1】{an}满足a1?1且8an?1an?16an?1?2an?5?0(n?1).记bn?（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn. 解析（I）bn?整
1an?12(n?1).
1an?12得an?11?,代入递推关系8an?1an?16an?1?2an?5?0, bn2理
得
4634???0,即bn?1?2bn?,由a1?1,有b1?2,所以b2?8,b3?4,b4?20.
33bn?1bnbn?1bn344442（Ⅱ）由bn?1?2bn?,bn?1??2(bn?),b1???0,
33333所以{bn?}是首项为432,公比q?2的等比数列,故 3bn?41n1411??2,即bn??2n?(n?1).由bn?得anbn?bn?1,133332an?21(1?2n)151故Sn?a1b1?a2b2???anbn?(b1?b2???bn)?n?3?n?(2n?5n?1).21?233
天利考试信息网 www.tl100.com 天时地利 考无不胜
．
，2，3，?），且a1，a2，a3【变式】数列?an?中，a1?2，an?1?an?cn（c是常数，n?1成公比不为1的等比数列．（I）求c的值；（II）求?an?的通项公式． 解：（I）a1?2，a2?2?c，a3?2?3c，
因为a1，a2，a3成等比数列，所以(2?c)2?2(2?3c)，解得c?0或c?2． 当c?0时，a1?a2?a3，不符合题意舍去，故c?2． （II）当n≥2时，由于
a2?a1?c， a3?a2?2c，
????
an?an?1?(n?1)c，
所以an?a1?[1?2???(n?1)]c?n(n?1)c． 2又a1?2，c?2，故an?2?n(n?1)?n2?n?2(n?2，3，?)．当n?1时，上式也成立，
所以an?n2?n?2(n?1，2，?)
1)an?【范例2】设数列{an}的首项a1?(0，，3?an?1，n?2，3，4，…． 2（1）求{an}的通项公式；（2）设bn?an3?2an，证明bn?bn?1，其中n为正整数．
3?an?11，n?2，3，4，…， 整理得 1?an??(1?an?1)． 221又1?a1?0，所以{1?an}是首项为1?a1，公比为?的等比数列，得
2解：（1）由an?
?1?an?1?(1?a1)????2?（2）方法一：
22bn?1?bnn?1
由（1）可知0?an?3，故bn?0．则 2
天利考试信息网 www.tl100.com 天时地利 考无不胜
?3?an?22?an(3?2a)?a(3?2a)??1n?1nn???2?23?an?29an?3?2??a(3?2a)?(an?1)2. n??n2?4?22又由（1）知an?0且an?1，故bn，n为正整数． ?1?bn?0，因此 bn?bn?1方法二：由（1）可知0?an?因为an?1?3，an?1， 2(3?an)an3?an，所以 bn?1?an?13?2an?1?． 2232?3?an??3?an?2由an?1可得an(3?2an)??，即 a(3?2a)?nn????an
?2??2?3?an?an．即 bn?bn?1，n为正整数 22【变式】已知数列?an?中，对一切自然数n，都有an??0,1?且an?an ?1?2an?1?an?0．
1求证：(1)an?1?an； (2)若Sn表示数列?an?的前n项之和，则Sn?2a1． 22an?12解析： (1)由已知an?an得， a??2a?a?0n?1n?1n21?an?112又因为an??0,1?，所以0?1?an?1?1, 因此an?2an?1，即an?1?an． 21111(2) 由结论(1)可知 an?an?1?2an?2???n?1a1 ，即an?n?1a1，
2222?1?1??2?11于是Sn?a1?a???a?a?a???a?a?2n111???2a，即11122n?1?1???2?Sn?2a1．
两边开平方得
an3?2an?2【范例3】由坐标原点O向曲线y?x?3ax?bx(a?0)引切线，切于O以外的点P1(x1,y1)，再由P1引此曲线的切线，切于P1以外的点P2(x2,y2），如此进行下去，得到点列{ Pn(xn,yn}}.
求：（Ⅰ）xn与xn?1(n?2)的关系式； （Ⅱ）数列{xn}的通项公式；
（Ⅲ）（理）当n??时，Pn的极限位置的坐 解析 （Ⅰ）由题得f?(x)?3x2?6ax?b
过点P1（x1,y1)的切线为l1:y?y1?f?(x1)(x?x1)(x1?0),
322?l1过原点 ??(x1?3ax1?bx1)?(?x1)(3x1?6ax1?b),得x1?323a. 2又过点Pn（xn,yn)的ln:y?yn?f?(xn)(x?xn)
因为ln过点Pn-1（xn?1,yn?1) ?yn?1?yn?f?(xn)(xn?1?xn)
22整理得[xn?1?xn?1xn?2xn?3a(xn?1?xn)](xn?1?xn)?0.
天利考试信息网 www.tl100.com 天时地利 考无不胜
?(xn?1?xn)2(xn?1?2xn?3a)?0,由xn?xn?1得xn?1?2xn?3a?0.
13?xn??xn?1?a(n?2).221（Ⅱ）由（I）得xn?a??(xn?1?a).
2
a1公比为?的等比数列 22a11?xn?a?(?)n?1?xn?[1?(?)n]a.
222所以数列{xn-a}是以
（Ⅲ）?limxn?lim[1?(?1)n]a?a, ?limyn?f(a)?a3?3a3?ab?ab?2a3.
n??n??n??2?点Pn的极限位置为（a,ab?2a3).
【点睛】注意曲线的切线方程l1:y?y1?f?(x1)(x?x1)的应用，从而得出递推式．求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。
【变式】已知函数f (x)=x?x，数列｜xn｜(xn＞0)的第一项xn＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f (x)在(xn?1,f(xn?1))处的切线与经过（0，0）和（xn,f (xn)）两点的直线平行（如图）.
*2求证：当n?N时，(Ⅰ) x2?x?3xnnn?1?2xn?1; （Ⅱ）()3212n?11?xn?()n?2.
2解、 (I ) 证明：因为f'(x)?3x2?2x,
2所以曲线y?f(x)在(xn?1,f(xn?1))处的切线斜率kn?1?3xn?1?2xn?1. 22即(0,0)和(xn,f(xn))两点的直线斜率是xn?xn?3xn?12?2xn?1. ?xn, 以xn（II）因为函数h(x)?x2?x，当x?0时单调递增，
2而xn?xn?3xn?12?2xn?1?4xn?12?2xn?1?(2xn?1)2?2xn?1，
所以xn?2xn?1，即
2xn?1xn2?12, 因此xn?xnxn?1xn?2?xn?1?????x21?()n?1. x12?12.
2又因为xn?xn?2(xn?1?xn?1), 令yn?xn?xn, 则
yn?1yn112因为y1?x1?x1?2, 所以yn?()n?1?y1?()n?2.
22因此xn?xn?xn?()
212n?211, 故()n?1?xn?()n?2.
22