设x?{x0,x1,...,xN?1}是长度为为偶数N的一个输入信号，s0和d0表示它们的偶序列和奇序列信号。记
ui(z)?pi(z)??ukikzz?k?kipk?k
若si(z)，di(z)分别表示序列si?{sli}，di?{dli}（i?1,...,m）的Z变换，且
?si(z)??1?????di(z)???pi(z)0??1??1??0?ui(z)??si?1(z)?? ??1??di?1(z)?则
?si(z)?si?1(z)?ui(z)di?1(z) i?1,2,.m.. ,?d(z)?d(z)?p(z)s(z)i?1ii?i用序列卷积可表示为
ii?1?sli?sli?1?(ui?di?1)l?sli?1??ukdl?k?k ?ii?1iii?1iid?d?(p?s)?d?ps?kl?klll?lk?iiii其中，u?{uk}，p?{pk}。
? 算法4.2 正向小波变换的提升实现算法
设预测步骤由奇序列预测偶序列开始。 步骤1 懒小波变换
sl?x2ld?x2l?10l0 ，l?0,1,...,N/2?1
步骤2 提升与对偶提升 ? For i=to m
ii?1?sli?sli?1??ukdl?k?k，l?0,1,...,N/2?1 ?ii?1ii?dl?dl??pksl?kk?步骤3比例变换 ? For l?0 to N/2-1
?sl?slm/k ?m?dl?kdl最后得到的s和d分别为小波分解的低频分量和高频分量。其中s?{s0,s1,...,sN/2?1}，
d?{d0,d1,...,dN/2?1}。
ii?1在算法4.2中，懒小波变换对应原信号的分裂；提升公式sli?sli?l??ukdl?k的意义在于用
kii奇序列di?1预测偶序列si?1，而对偶提升公式dli?dli?1??pksl?k的含义是用偶序列的预测
k误差si更新di?1。通过若干次预测和更新过程，经过比例变换，最后实现了信号的一级小波变换。
只要对正向小波变换按相反的次序进行操作，并改变正负号，立即得到逆变换。
? 算法4.2*逆向小波变换的提升实现算法
步骤1. 比例变换 For l=0 to N/2-1
?slm?ksl ?m?dl?dl/k步骤2 提升与对偶提升 For i=m to 1
ii?dli?1?dli??pksl?k?k，l?0,1,...,N/2?1 ?i?1iii?1?sl?sl??ukdl?kk?步骤3 逆懒小波变换
x2l?sl，x2l?1?dl，l?0,1,...,N/2?1
00算法分析表明，当输入数据量很大时，提升算法比Mallat算法的设计量减少一半。 2. u1(z)?0时提升算法的实现
m当u1(z)?0时，式（4－10），即p(z)?变为
?1p(z)???p1(z)0??1??i?1?1??0ui(z)??1??1??pi(z)0??k??1??00?? 1/k?m?i?2?1??0ui(z)??1??1??pi(z)0??k??1??00?? 1/k?其中，pm(z)?0
记n?m?1，于是，p(z)可表示为
mp(z)??i?1?1??p1(z)0??1??1??0vi(z)??k??1??00?? 1/k?其中，vi(z)?ui?1(z)
?1/k?(z)＝?从而，p?0?1T0??k?1?i?n?1??0?vi(z)??1??1???pi(z)0?? 1?设是长度为的一个输入信号，和表示它的偶序列和奇序列信号。若分别表示序列的Z变换，而记
vi(z)?pi(z)??vkikz?k?kpzik?k
则由
?si(z)??1＝????0?di(z)??vi(z)??1??1???pi(z)0??si?1(z)????，i?1,2,...,n 1??di?1(z)?则
?di(z)?di?1(z)?pi(z)si?1(z) （4－15） ?s(z)?s(z)?v(z)d(z)i?1ii?i
? 算法4.3正向小波变换的提升算法（预测步骤由偶序列预测奇序列开始）
步骤1 懒小波变换
sl?x2ld0l0?x2l?1，l?0,1,2,...,N/2?1
步骤2 提升和对偶提升
ii?1?dli?dli?1??pksl?k?k，l?0,1,...,N/2?1 ?ii?1ii?sl?sl??vkdl?kk?步骤3 比例变换
?sl?sln/k ?n?dl?kdls最后得到的和分别为小波分解的低频分量和高频分量。其中s?{s0,s1,...,Nd?{d0,d1，...dN/2?1}。
/?21}，
注释：若p(z)具有分解式（4－10），其中u1(z)?0，则用算法4.2给出小波变换的提升实现。否则，若p(z)具有分解式（4－13），则可用算法4.3给出小波变换的提升实现。
由于p(z)和p，所以本质上我们可以根据它们的任意分解式写?(z)之间满足式（4－9）出小波变换的提升算法。算法4。2和算法4。3是根据的因子分解给出的。以算法4.2为例，如果在实际计算时已知的因子分解，设
m?(z)?p?i?1m?1??1(z)?p0??1??1??0?i(z)?u?1???k???00?? ?1/k??则有式（4－9）可算出
?(z)?p?i?1?1??01?i(z)???p???1??u(z)1??i?1?0??1/k??1??0?0?? （4－16） ?k???i(z?1)，pi(z)??u?i(z?1)。 从而，ui(z)??p
注释：对任意有限滤波器，多相位的因子分解（式（4－10））提供了确认小波变换提升步骤序列的一种简单方法。但这种分解存在极大的不唯一性，到底存在多少种分解方法？如何根据具体的应用，选择一种“好”的分解方法，这些都尚未完全解决的问题。 ［例4.5］（5－3）小波变换的提升实现 （5－3）小波滤波器如下： ??{?h1,1,3,1,1}，h?{122,1,1}
4222222242222可以求出（5－3）小波滤波器的多相位矩阵存在如下的一种因子分解：
?1?(z)??p?0?(1?z)??1?11????v(1?z)0?????1??00?? 1/??其中，???0.5，v?0.25，??由式（4－16）可得
1?p(z)????(1?z)2。
0??1??1??0v(1?z)??1/???1??00?? ??所以，p(z)具有形如式（4－13）的分解形式，故由算法4.3，（5－3）小波变换提升实现为
sl?x2l,dl?x2l?1dl?dl??(sl?sl?1)s?s?v(d?d111l0l1l1l?1100000
)sl???sl,dl?dl/?由此，写出（5－3）逆小波变换的提升实现算法为：
sl?sl/?,dl??dlsl?sl?v(dl?dl?1)d?d??(s?s00l1l0l0l?10011111)
x2l?sl,x2l?1?dl4.3.6 提升算法举例
由于多相矩阵的分解不唯一，所以小波变换的提升分解也不唯一的。在以下的例子中，给出一些分解所对应的小波的提升实现。
［例4.6］标准的Haar小波变换的提升实现
对于标准的Haar小波滤波器，对偶多相位矩阵存在如下的一种因子分解：
?1??(z?1)T?2p???000?0??2????1??01?2??1??1???10?? 1?根据算法4.3 与这分解对应的提升实现如下：
sl?x2l,dl?x2l?1dl?dl?slsl?sl?sl?sl11010012dl1 2?dl12,dl?［例4.7］D4小波变换的提升实现
h(z)?h0?h1z2?1?h2z1?2?h3z?3，
1?3g(z)??h3z?h2z?h1?h0z?1其中，h0?1?342，h1?3?342，h2?3?342，h3?42
可以算出，的多相位矩阵p(z)的一种分解为：
?h0?h2z?1?(z)＝?p(z)?p?1h?hz3?1?3???31?????413?24z?1?h3z?h1?? 1h2z?h0?0???1?1??0???3?1?z?2??1???0???? 3?1??2?01?1???0? 第一种实现方法：根据算法4.2，p(z)分解对应的D4小波变换的提升实现算法为