?????? （Ⅱ）由?xOA?得OA?(cos,sin)
444???? 又?xOB???OB?(cos?,sin?)
?????????3??3OB?得coscos??sinsin?? 由OA?5445?3 即cos(??)?
45 ???4????4?0??4?????4?sin(??)? 245 ?sin??sin??????????(??)??sincos(??)?cossin(??) 44444?4? =
23242 ?????252510点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重
学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想。该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度 题型3：直线与圆的位置关系 例5．（2009江苏卷18）（本小题满分16分） 在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x?3)2?(y?1)2?4和圆C2:(x?4)2?(y?5)2?4. （1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标
解 (1)设直线l的方程为：y?k(x?4)，即kx?y?4k?0 由垂径定理，得：圆心C1到直线l的距离d?42?(
232)?1， 2
结合点到直线距离公式，得：|?3k?1?4k|k?12?1,
化简得：24k?7k?0,k?0,or,k??求直线l的方程为：y?0或y??27 247(x?4)，即y?0或7x?24y?28?0 24(2) 设点P坐标为(m,n)，直线l1、l2的方程分别为：
111y?n?k(x?m),y?n??(x?m)，即：kx?y?n?km?0,?x?y?n?m?0
kkk因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等。 由垂径定理，得：：圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等。
41|??5?n?m|k故有：|?3k?1?n?km|?k，
21k?1?12k化简得：(2?m?n)k?m?n?3,或(m?n?8)k?m?n?5 关于k的方程有无穷多解，有：??2?m?n?0?m-n+8=0 ,或??m?n?3?0?m+n-5=0解之得：点P坐标为(?3,13)或(5,?1)。
2222例6．已知圆M：（x＋cos?）2＋（y－sin?）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题： （A） 对任意实数k与?，直线l和圆M相切； （B） 对任意实数k与?，直线l和圆M有公共点；
（C） 对任意实数?，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切； （D）对任意实数k，必存在实数?，使得直线l与和圆M相切 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）
解析：圆心坐标为（－cos?，sin?） d＝
|－kcos?－sin?|1＋k＝|sin（?＋?）|?12＝1＋k2|sin（?＋?）|1＋k2 故选（B）（D）
点评：该题复合了三角参数的形式，考察了分类讨论的思想。
题型4：直线与圆综合问题
例7．（江西理16）．设直线系M:xcos??(y?2)sin??1(0???2?),对于下列四个命题：
A．M中所有直线均经过一个定点 B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n(n?3)，存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
??y(?2)s?in?【解析】因为xcosd?1cos??sin?22)M中每条直线的距离所以点P(0,2到
?1
即M为圆C:x2?(y?2)2?1的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线, 所以A错误；
又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以B正确； 对任意n?3,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确；
M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故D错误, 故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】B,C
例8．（江西理16）．设直线系M:xcos??(y?2)sin??1(0???2?),对于下列四个命题：
A．M中所有直线均经过一个定点 B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n(n?3)，存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
【解析】因为xcos??y(?2)s?in?所以点P(0,2到)M中每条直线的距离
d?1cos??sin?22?1
即M为圆C:x2?(y?2)2?1的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线, 所以A错误；
又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以B正确； 对任意n?3,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确；
M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故D错误, 故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】B,C
例9．（江西理16）．设直线系M:xcos??(y?2)sin??1(0???2?),对于下列四个命题：
A．M中所有直线均经过一个定点 B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n(n?3)，存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
??y(?2)s?in?【解析】因为xcosd?1cos??sin?222)M中每条直线的距离所以点P(0,2到
?1
2即M为圆C:x?(y?2)?1的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线, 所以A错误；
又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以B正确； 对任意n?3,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确；
M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故D错误,
故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】B,C
例10．已知函数f(x)=x2－1(x≥1)的图像为C1，曲线C2与C1关于直线y=x对称。 （1）求曲线C2的方程y=g(x)；
（2）设函数y=g(x)的定义域为M，x1，x2∈M，且x1≠x2，求证|g(x1)－g(x2)|<|x1－x2|; （3）设A、B为曲线C2上任意不同两点，证明直线AB与直线y=x必相交。 解析：（1）曲线C1和C2关于直线y=x对称，则g(x)为f(x)的反函数。 ∵y=x2－1，x2=y+1，又x≥1，∴x=
y?1，则曲线C2的方程为g(x)=
x1?x2x1?1?x2?1 x?1(x≥0)。
（2）设x1，x2∈M，且x1≠x2，则x1－x2≠0。又x1≥0， x2≥0， ∴|g(x1)－g(x2)|=|
x1?1 －x2?1|=
≤
x1?x22<|x1－x2|。
（3）设A(x1，y1)、B（x2，y2）为曲线C2上任意不同两点，x1，x2∈M，且x1≠x2， 由（2）知，|kAB|=|
y1?y2|g(x1)?g(x2)||=<1
x1?x2|x1?x2|∴直线AB的斜率|kAB|≠1，又直线y=x的斜率为1，∴直线AB与直线y=x必相交。
点评：曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系
B入手来处理，最终转化为点的坐标之间的对应关系
题型6：轨迹问题 yA例11．已知动圆过定点??p?,0?，且与直线2??NMp相切，其中p?0。 2（I）求动圆圆心C的轨迹的方程；
（II）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，x??直线OA和OB的倾斜角分别为?和?，当?,?变化
ox?p?F?,0??2?x??p2且???为定值?(0????)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。
解析：（I）如图，设M为动圆圆心，?p?p?,0?为记为F，过点M作直线x??的
2?2?