垂线，垂足为N，由题意知：MF?MN即动点M到定点F与定直线x??相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F?线，所以轨迹方程为y2?2px(P?0)；
p的距离2p?p?,0?为焦点，x??为准
2?2?（II）如图，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由题意得x1?x2（否则?????）且x1,x2?02y12y2xb?所以直线AB的斜率存在，设其方程为y?kx?b，显然x1?，将y?k,x2?2p2p2与y2?2px(P?0)联立消去x，得ky?2p?y2由韦达定理知p?b0y1?y2?2p2pb,y1?y2?① kk（1）当???2时，即?????2tan??tan??1所以时，
y1y2??1,x1x2?y1y2?0，x1x222pby12y222?4p所以由①知：所以。因此直线AB的方程可表示?yy?0yy?4p12122k4p为y?kx?2Pk，即k(x?2P)?y?0，所以直线AB恒过定点??2p,0?。
（2）当???2时，由?????，
得tan??tan(???)=
tan??tan?2p(y1?y2)=， 21?tan?tan?y1y2?4p2p2p?2pk， ，所以b?tan?b?2pk2p?2pk即ta?n将①式代入上式整理化简可得：tan??此时，直线
AB的方程可表示为y?k?x2p?2p???AB，所以直线恒过定点k(x?2p)??y??0?2p,???。
tan??tan????所以由（1）（2）知，当??
?2时，直线AB恒过定点??2p,0?，当???2时直线AB
恒过定点??2p,??2p??。 tan??点评：该题是圆与圆锥曲线交汇题目，考察了轨迹问题，属于难度较大的综合题目。
O1O2?4. 例12．如图，圆O1与圆O2的半径都是1，
NPN（M，过动点P分别作圆O2、圆O2的切线PM，分别为切点），使得PM?2PN. 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程
解析：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(?2，0)，O2(2，0)。
由已知PM?2PN，得PM2?2PN2。
2因为两圆半径均为1，所以PO12?1?2(PO2?1)。
y)，则(x?2)2?y2?1?2[(x?2)2?y2?1]， 设P(x，即(x?6)2?y2?33(或x2?y2?12x?3?0)。
点评：本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力 题型7：课标创新题
例13．已知实数x、y满足(x?2)2?(y?1)2?1，求z?y?1的最大值与最小值。 xy?1表示过点A（0，－1）和圆x (x?2)2?(y?1)2?1上的动点（x，y）的直线的斜率。
解析：
如下图，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分
别取得最大值和最小值
设切线方程为y?kx?1，即kx?y?1?0，则
|2k?2|k2?1?1，解得k?4?7。 3因此，zmax?4?74?7，zmin? 33点评：直线知识是解析几何的基础知识，灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性
强等特点，对启迪思维大有裨益。下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用
例14．设双曲线的两支分别为，正三角形PQR的三
顶点位于此双曲线上。若求顶点Q、R的坐标
在上，Q、R在上，
分析：正三角形PQR中，有， 则以为圆心，
为半径的圆与双曲线交于R、Q两点。
根据两曲线方程可求出交点Q、R坐标
解析：设以P为圆心，为半径的圆的方程为：，
由得：。 （其中，可令进行换元解之）
设Q、R两点的坐标分别为，则。
即，
同理可得：， 且因为△PQR是正三角形，则PQ2?QR?r2，
2 即，得。
代入方程，即。
由方程组，得：或，
所以，所求Q、R的坐标分别为 点评：圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用
五．【思维总结】
1．关于直线对称问题：
（1）关于l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称问题：不论点，直线与曲线关于l 对称问题总可以转化为点关于l 对称问题，因为对称是由平分与垂直两部分组成，如求P（x0 ，y0）关于l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称点Q（x1 ，y1）．有
x?x1Ay0?y1＝－（1）与A·0＋
2Bx0?x1B·
y0?y1＋C ＝0。 2（2）解出x1 与y1 ；若求C1 ：曲线f（x ，y）＝0（包括直线）关于l ：Ax ＋By ＋
C1 ＝0对称的曲线C2 ，由上面的（1）、（2）中求出x0 ＝g1（x1 ，y1）与y0 ＝g2（x1 ，y1），然后代入C1 ：f [g1（x1 ，y1），g2（x2 ，y2）]＝0，就得到关于l 对称的曲线C2 方程：f [g1（x ，y），g2（x ，y）]＝0。
（3）若l ：Ax ＋By ＋C ＝0中的x ，y 项系数|A|＝1，|B |＝1．就可以用直接代入解之，尤其是选择填空题。如曲线C1 ：y2 ＝4 x －2关于l ：x －y －4＝0对称的曲线l2 的方程为：(x －4) 2 ＝4（y ＋4）－2．即y 用x －4代，x 用y ＋4代，这样就比较简单了
（4）解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决 点与圆位置关系：P（x0 ，y0）和圆C ：(x －a) 2 ＋(y －b) 2 ＝r2。 ①点P 在圆C 外有(x0 －a) 2 ＋(y0 －b) 2 ＞r2；
②点P 在圆上：(x0 －a) 2 ＋(y0 －b) 2 ＝r2； ③点P 在圆内：(x0 －a) 2 ＋(y0 －b) 2 ＜r2 。
3．直线与圆的位置关系：l ：f1（x ，y）＝0．圆C ：f2（x ，y）＝0消y 得F（x2）＝0。
（1）直线与圆相交：F（x ，y）＝0中? ＞0；或圆心到直线距离d ＜r 。 直线与圆相交的相关问题：①弦长|AB|＝
1?k2·|x1 －x2|＝
x1?x2y1?y2，）；22或|AB|＝2r2?d2；②弦中点坐标（1?k2·(x1?x2)2?4x1x2，③弦中点轨迹方程。
（2）直线与圆相切：F（x）＝0中? ＝0，或d ＝r ．其相关问题是切线方程．如P（x0 ，y0）是圆x2 ＋y2 ＝r2 上的点，过P 的切线方程为x0x ＋y0y ＝r2 ，其二是圆外
2点P（x0 ，y0）向圆到两条切线的切线长为(x0?a)?(y0?b)?r或x0?y0?r；
22222其三是P（x0 ，y0）为圆x2 ＋y2 ＝r2 外一点引两条切线，有两个切点A ，B ，过A ，B 的直线方程为x0x ＋y0y ＝r2 。
（3）直线与圆相离：F（x）＝0中? ＜0；或d ＜r ；主要是圆上的点到直线距离d 的最大值与最小值，设Q 为圆C ：(x －a) 2 ＋(y －b) 2 ＝r2 上任一点，|PQ|max ＝|PC|＋r ；|PQ|min ＝|PQ|－r ，是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值．
4．圆与圆的位置关系：依平面几何的圆心距|O1O2|与两半径r1 ，r2 的和差关系判定．
（1）设⊙O1 圆心O1 ，半径r1 ，⊙O2 圆心O2 ，半径r2 则：
①当r1 ＋r2 ＝|O1O2|时⊙O1 与⊙O2 外切；②当|r1 －r2|＝|O1O2|时，两圆相切；③当|r1 －r2|＜|O1O2|＜r1 ＋r2 时两圆相交；④当|r1 －r2|＞|O1O2|时两圆内含；⑤当r1 ＋r2 ＜|O1O2|时两圆外离
（2）设⊙O1 ：x2 ＋y2 ＋D1x ＋E1y ＋F1 ＝0，⊙O2 ：x2 ＋y2 ＋D2x ＋E2y ＋F2 ＝0。
①两圆相交A 、B 两点，其公共弦所在直线方程为（D1 －D2）x ＋（E1 －E2）y ＋