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1?1?1?3???n2?ln?1?3??lnn?n2?ln?1?3?ln?1?3?1?n??n??1lim?n? p?lim?limn??31?27n???1?27n???1?1?ln1?ln?lnn3?ln??????1??nn?????n?11? 273所以，该级数收敛．
?n22．2达朗贝尔判别法的第二种推广与应用
2．2．1达朗贝尔判别法的第二种推广
定理1两个正项级数?an和?bn，如果从某项起下列不等式成立：
n?1n?1???3?a2nb2na2n?1b2n?1a2n?2b2n?2 （1） ?,?,?anbnan?1bn?1an?2bn?2则级数?bn收敛那么级数?an一定收敛，级数?an发散那么级数?bn一定发散．
n?1n?1n?1n?1????证明： 任取一自然数n0，使得p=2n0?2>n0,设引理中的不等式（1）对于任意的n?n0恒成立，可以把引理中的不等式（1）变形为：
a2nana2n?1ana2n?2an?,?,? b2nbnb2n?1bnb2n?2bn即
a2n?2?ian? （i=0, 1，2，n?n0） b2n?2?ibn?ai?令 k?max??，则 n0??ipb?i?(1) 当n0?n?p时，
?a?an?max?i??k成立 bnn0?i?p?bi?(2) 当n?p时，可将n写成n?2n1?2?i(i?0,1,2)，则n?2n1?2?i?p?2n0?2 其中一定有n1?n0． 若n1?p时，则
ana2n?2?ian1成立． ??bnb2n?2?ibn1若n1?p时，则可将n1写成n1?2n2?2?i(i?0,1,2)，其中n2?n0，使得n2?p，
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若n2?p，不成立，则要继续进行下去，经过有限次总能得到
nk?1?3nk?1?i(i?0,1,2)．使得n0?nk?p 从而得到：
anan1an2???bnbn1bn2?ankbnk?k成立
因此 ?n?n0，恒有
?a?an?k?max?i?成立
n0?i?pbbn?i???由比较判别法知：若级数?bn收敛，那么级数?an一定收敛，
n?1n?1若级数?an 发散，那么级数?bn 一定发散
n?1n?1??证明完毕
下面根据定理1，推广出一个关于正项级数收敛的判别法，以定理的形式叙述如下： 定理2 对于正项级数?an，若limn?1?8??a2na?lim2n?1?p，则
n??an??ann?1?1(1) 当p<时，级数?an收敛
2n?1?1(2) 当p>时，级数?an发散
2n?11证明：（1）当p<时，???0,?N,，当n?N时，
2有
a2n1a1?p???r?和2n?1?p???r? an2an?12111又因为 0?r?，所以可令s?1，使r?s?
222?1M11?n?1?令Mn?s，那么?s（因为s>1）级数收敛，且lim2n?1?lim? ??sn??Mn??2n?1nn2??n?1n?1s当n充分大时有
M2n?1?r 成立 Mn?1又因为 0?r?1M2n1?s ，显然
2sMn2济南大学毕业论文用纸
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M2n?1aMa1?r?2n?1和2n?s?r?2n Mn?1an?1Mn2an?那么根据引理2，级数?an收敛
n?111（2）当p>时，对于正整数?使p???，?N，当n?N时，
22有
a2na11?p???和 2n?1?p??? an2an?121MMn?11n1， 则 2n??，而 2n?1??， n?1Mn2n?12Mn?12n2令Mn?故
a2nM2naM 和 2n?1?2n?1成立 ?anMnan?1Mn?1又
?Mn?2?n是发散的，由定理1得
?an?1?n发散
将定理2推广到一般的形式，叙述如下：
定理3 关于正项级数?an与?bn，若存在自然数N，当n>N时，不等式
n?1n?1??aknbknakn?1bkn?1?,?,anbnan?1bn?1?,akn?k?1bkn?k?1?(k?2,k?N)成立，则 an?k?1bn?k?1?(1) 若级数?bn收敛，则级数?an收敛；
n?1?n?1?(2) 若级数?an发散，则级数?bn发散
n?1n?1证明：由条件知，若存在自然数N，当n?N时，不等式
akn?ian?i?(i?0,1,bkn?ibn?i,k?1)成
?a??a?a立，不妨取自然数p?kN?N，并令M=max?i?，当N?n?p时，n?max?i??M；
N?i?pbbbN?i?p?bi??i?当n?p时，则唯一存在一个自然数n1,使n?kn1?i1?p?kN(i1?0,1,,k?1)，故
n1?i1?N
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anakn1?i1an1?i1??M； 若n1?i1
,k?1)，其中n2?i2?N，
an1?i1bn1?i1?akn2?i2bkn2?i2?an2?i2bn2?i2且n2?i2?n1?i1
anakns?isans?is由于n?p，经过有限步，假设第s步,必有ns?is?p，于是???M
bnbkns?isbns?is所以当级数?bn收敛，则级数?an收敛；当级数?an发散，则级数?bn发散
n?1n?1n?1n?1????证明完毕
定理3的推论：
推论1 给定正项级数?an，若limn?1?akna?limkn?1?n??an??ann?1?limakn?k?1?p，
n??an?k?1??11则 （1）p?时，?an收敛； （2）p?时，?an发散
kkn?1n?1证明：（1）当p?令 bn?1111?1??1?时，令 s??p????p,?，则存在实数r>1，使得s?r?，
kkk2?k??k?1， nrr?1???ab1limkn?p?s?r?lim?kn??limkn， n??an??n??bknn?1??n??1??kn?1?bkn?11?p?s?r?lim??lim， ?n??n??1kbn?1???n?1?rlimakn?1n??an?1
akn?k?1n??an?k?11???kn?k?1?bkn?k?11?p?s?r?lim??lim ?n??n??1kbn?k?1???n?k?1?rlim济南大学毕业论文用纸
第 10 页 共 18页 于是 ?N0?0，当 k?N0时，有
??aknbknakn?1bkn?1?,?,anbnan?1bn?1,akn?k?1bkn?k?1 ?an?k?1bn?k?1?1因为级数 ?bn??r(r?1)收敛，由定理知，级数?an收敛
n?1n?1nn?1（2）当 p?11时，令bn?，
nk1ab1limkn?p??limkn?limkn， n??akn??1n??bnnn1ab1limkn?1?p??limkn?1?limkn， n??an??bkn??1n?1nn?1……………．
1ab1limkn?k?1?p??limkn?k?1?limkn n??an??b1kn??n?k?1nn?k?1于是 ?N0?0，当k?N0时，有
??aknbknakn?1bkn?1?,?,anbnan?1bn?1,akn?k?1bkn?k?1 ?an?k?1bn?k?1?1又因为级数?bn??r(r?1)发散，定理知级数?an发散
n?1n?1nn?12．2．2应用举例
例1
?10?xn论?n!n?x?0?是否收敛
nn?1?n?1?x???n?1?!??axn?1?解：limn?1?lim? ?nn??an??e?x?nn!???n?当x=e时，用达朗贝尔判别法不能断定级数的敛散性
?n?利用 n!?2?n??e12n?e?n??0???1?
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