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?x?2n?!???a?2n?此时 2n?nan?x?n!???n?当x=e时，lim?2?n??2n?2n??x?4?n???e24n???e??2n??nn??n?12n?x?2?n???e???e??n?2n?2n?x??2??
?e?n1，由定理2得，级数发散 2例2：讨论?解 令 an?1是否收敛 2n?1n?lnn1， 则 2n?lnn?lnna2n?2n??ln2nn2?lnnn2 ???21an2n??ln2n22?ln2n?n2?lnnn2211?122n?1??ln?n?1?n?1???a2n?1?2n?1??ln?2n?1???? 221an?1?2n?1??ln?2n?1??2?1?2??n?1??ln?n?1?n??ln?2n?1??21?n?1???1??n??1221?ln?n?1?2n?2??ln?n?2?n?2???a2n?2?2n?2??ln?2n?2???? 221an?2?2n?2??ln?2n?2??2?2?2??n?2??ln?n?2?n??ln?2n?2??22?n?2???1??n??1?ln?n?2?2lima2naa111?lim2n?1?lim2n?2?2??
n??an??an??a242nn?1n?21收敛 2n?1n?lnn?根据定理2得到，?例3 证明级数?证明：令an??lnn收敛 6nn?1lnn n6济南大学毕业论文用纸
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ln?n?1?n?1??an?1 因为lim?limn??an??lnnnn66?1 ，
所以不能用达朗贝尔判别法来证明是否收敛
ln?2n?1?ln2n6ln?2n?2?6?2n?2??2n?a2n?1??2n?1?aa 2n?，， lim2n?2?
n??lnnlnn?1lnn?2anan?1an?2????666n?n?1??n?2? lima2nan?1a2211?lim2?limn??6?
n??an??an??a22nn?1n?2lnn收敛 6n?1n??6所以级数?例4 证明级数?3lnn3n收敛
n??na2nln2n3证明： 因为 ?2n??anlnn3ln2?ln3?0(n??)
n2n?1?n?11?0(n??)
n2n?1?n?11ln?2n?1?a2n?1ln?2n?1?3n?1 ????2n?1an?1ln?n?1?ln?n?1?33? 所以级数
n???3lnn3n收敛
2．3达朗贝尔判别法的第3种推广与应用 2．3．1达朗贝尔判别法的第三种推广
引理1 给定两个正项级数（A）?an和（B）?bn，若从某项起（如n>N时），不等
n?1n?1?4???式
aknbknakn?1bkn?1?,?,anbnanbn,akn?k?1bkn?k?1?成立， anbn则级数（B）收敛蕴含级数（A）收敛；级数（A）发散蕴含级数（B）发散 引理2 给定正项级数?an，若limn?1?5??akn?i?p(i?0,1k?1)，则
n??an济南大学毕业论文用纸
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?1（1）当p<时，则级数?an收敛
kn?1?1（2）当p>时，则级数?an发散
kn?1下面将引理2推广到如下形式
定理：给定正项级数?an，若对一固定自然数，有
n?1?alimkn?i?pi?i?1,2,n??an?,K?，?pi?p
i?1?K则 （1）p?1时，?an收敛； （2）p?1时，?an发散
n?1n?1证明：当p?1时，对充分大的n?n0，存在??akn?i??pi? ank1?p，使 2???akn??i?p?i?a n即 k??N故对任意的自然数 N?n0，有 将上式再关于i求和，得
n?n0?akn?i??N???pi???an
k?n?n0???ai?1n?n0k(N?1)kNkn?i??N????pi???an
k?n?n0i?1?kN1?pN即 ?an??p????an?an ?2n?n0n?kn0?1n?n0令 Tn??ai，则上式可以变成：
i?1n1?p1?pTN?Tn0?Tk(N?1)?Tn0 221?p1?pTk(N?1)?Tkn0?1?Tn0 移项整理得：Tk(N?1)?22Tk(N?1)?Tkn0?1?????即 Tk(N?1)?2?1?p?T?Tn0?=M ?kn0?11?p?2?济南大学毕业论文用纸
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由于?an的部分和有界，所以级数收敛
n?1?当p?1时，对充分大的n?n0，存在?1?ap?1p1，使 kn?i?p1??1 2pan即 akn??i?1?p?p1a2p n同上，先对n从n0到N求和，再对i从1到k求和，则有
Tk?N?1??Tkn0?1??1?pTN?Tn0 2??若?an收敛，上式中令N??，则有
n?11?2p??1?2p????a?a?T?T?a?T???nnn0?kn0?1nn0??Tn0 ??2?n?12?n?1n?1??1?p???即 ?an?Tn0?a?T??nn0? 2n?1?n?1?又 则有
???an?1?n?Tn0?n?kn0?1??an?0
1?p?1 2即 p?1 与 p?1矛盾，故级数发散
2．3．2应用举例
例1 正项级数?an中a1?1，a2n?1?n?1?9??12an，a2n?2?an(n?1,2,)，试讨论正25项级数?an敛散性
n?1?解：利用定理，取k=2，，则 p?故级数收敛
129??1? 25103比较判别法的推广与应用
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3．1比较判别法的推广
定理1??（比较原则的推论）设 u1+u2+…+un+… ?1?
1 v1+v2+…+vn+… ?2?
是两个正项级数，若
u limn?l ?3?
n??vn则 (i)当0 ?6??1，则定理1，就演变成了如下： kn?n??定理2 对于正项级数?un，若limnun?m?0或limnun??，那么级数?un发散； n?1n??n?1如果有k>1使得lim?nun存在，则级数?un收敛 kn???n?1下面对定理2进行推广，以定理的形式叙述如下： 定理3 设?an为正项级数，令?f?n???an，a?0，f?n?为当x=n时由某一函 n?0n?0n?0???数f?x?所确定的值，f?x?连且续有直到m阶的有限导数： limf?x??limf?x???limf?x????x??x??x???limf?x??m?1??x??0 如果对f?x?的m阶导数f?m??x?存在一幂函数xk?m?k?0?，使得， xk?mf?m??x??s，0?s??? limx??那么当k?1时，级数?an收敛，当k?1时，级数?an发散 n?0n?0??证明：运用罗必塔法则m次可得， f?x?f??x??lim? limx??x???k1xkxk?1?limx??f?m??x?m??1?p?p?1?xk?m1?p?m?? 济南大学毕业论文用纸