3.2.1 实际问题中导数的意义 3.2.2 最大值、最小值问题
1.了解实际问题中导数的意义及最大值、最小值的概念.(难点) 2.理解函数的最值与导数的关系.(重点)
3.掌握利用导数求函数的最值及由导数解决实际中的优化问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 导数的实际意义
阅读教材P63～P65“练习”以上部分，完成下列问题.
在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量.以中学物理为例，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等.
质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示( )
A.t＝1 s时的速度 C.t＝1 s时的位移
B.t＝1 s时的加速度 D.t＝1 s的平均速度
【解析】 v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度，故选B. 【答案】 B
教材整理2 函数的最值与导数 阅读教材P66，完成下列问题. 1.最大值点与最小值点.
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0).
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不低于f(x0).
2.最大值与最小值
最大(小)值或者在极大(小)值点取得，或者在区间的端点取得.因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有极大(小)值点与区间端点的函数值
1
进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值.
函数的最大值和最小值统称为最值.
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的最大值一定是函数的极大值.( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值.( )
(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)×
2.函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( ) A.无最值 C.有最大值
B.有极值 D.有最小值
【解析】 f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值.
【答案】 A
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
[小组合作型]
导数在实际问题中的意义 如图3-2-1所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单
位：s)的函数，设这个函数可以表示为W(t)＝t－6t＋16t.
3
2
图3-2-1
2
(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求W′(1)，W′(2)，并解释它们的实际意义. 【精彩点拨】 弄清题意，根据物理中导数的意义解答：
(1)功的平均变化率表示平均每秒做的功；(2)功率是功关于时间的导数.
【自主解答】 (1)当t从1 s变到3 s时，功W从W(1)＝11 J变到W(3)＝21 J，此时功W关于时间t的平均变化率为
W（3）－W（1）21－11
3－1
＝3－1
＝5(J/s).
它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间，这个人平均每秒做功5 J. (2)首先求W′(t).根据导数公式和求导法则可得
W′(t)＝3t2－12t＋16，
于是，W′(1)＝7 J/s，W′(2)＝4 J/s.
W′(1)和W′(2)分别表示t＝1 s和t＝2 s时，这个人每秒做的功分别为7 J和4 J.
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率.
2.导数可以刻画实际问题中两个变量变化的快慢程度；在应用时我们首先要建立函数模型，利用定义或公式法则求出导数并能结合实际问题解释导数的实际意义.
[再练一题]
1.已知某商品生产成本c与产量q(0 q的函数关系为p＝25－q，求利润L关于产量q的关系式，用L＝f(q)表示，并计算f′(80) 的值，解释其实际意义. 1??【解】 ∵f(q)＝p×q－c＝?25－q?×q－(100＋4q)， 8??12 ∴f(q)＝－q＋21q－100(0 8 11 ∴f′(q)＝－q＋21，∴f′(80)＝－×80＋21＝1. 44说明产量q＝80时，产量每增加1，利润也增加1. 求函数的最值 求函数f(x)＝4x＋3x－36x＋5在区间[－2，3]上的最大值与最小值. 【精彩点拨】 求函数的最值与求函数的极值相似，先列出表格，再进行判断，从而求出最值. 【自主解答】 ∵f′(x)＝12x＋6x－36， 3 2 321 8 32 令f′(x)＝0，得2x＋x－6＝0，∴x＝－2或. 2当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如表所示： x f′(x) 3?－2 ?－2， ?2???0 － 3 20 115 4?3，3? 3 ?2???＋ ＋ f(x) 57 ? －? 32 3115?3?∴f(x)在x＝处取极小值，且f??＝－. 24?2? 又∵f(－2)＝57，f(3)＝32，∴f(x)的最大值为f(－2)＝57， f(x)的最小值为f??＝－ 2 ?3??? 115. 4 求f(x)在[a，b]上的最值的步骤： (1)求f(x)在(a，b)内的极值点； (2)求出f(x)在区间端点和极值点的值； (3)将上述值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值. [再练一题] 2.已知函数f(x)＝－x＋3x＋m(x∈[－2，2])，f(x)的最小值为1，则m＝__________. 【解析】 f′(x)＝－3x＋6x，x∈[－2，2]. 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2， 当x∈(－2，0)时，f′(x)<0， 当x∈(0，2)时，f′(x)>0， ∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值， ∴f(0)＝m＝1. 【答案】 1 最值问题的实际应用 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售 价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ ＋10(x－6)，其中3＜x＜6，a为常数，已知销 x－3 23 2 a2 售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a的值； 4 (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【精彩点拨】 (1)根据x＝5时，y＝11求a的值. (2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值. 【自主解答】 (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2. 2(2)由(1)知，该商品每日的销售量 2 y＝＋10(x－6)， x－3 a2 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x－3)? ?2＋10（x－6）2?＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6， ? ?x－3? 2 从而，f′(x)＝10[(x－6)＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)·(x－6)， 于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (3，4) ＋ 4 0 (4，6) － 单调递增? 极大值42 单调递减? 由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点， 所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 1.经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动. 2.关于利润问题常用的两个等量关系 (1)利润＝收入－成本. (2)利润＝每件产品的利润×销售件数. [再练一题] 3.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间12 的关系式为：p＝24 200－x，且生产x吨的成本为R＝50 000＋200x(元).问该厂每月生产 5多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？ 【解】 每月生产x吨时的利润为 5