2??f(x)＝?24 200－x?x－(50 000＋200x) 5
1
??
13
＝－x＋24 000x－50 000(x≥0)，
5
32
由f′(x)＝－x＋24 000＝0，解得x＝200或x＝－200(舍去).
5
因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大13
值为f(200)＝－×200＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)，故每月生产200吨产品
5时利润达到最大，最大利润为315万元.
[探究共研型]
与最值有关的恒成立问题 探究1 已知函数f(x)＝2＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，如何求实数a的取值范围？
2
a2（x－a）
【提示】 由f(x)＝2＋2ln x得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋
xx3
ax∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－a(舍去)或x＝a.当0
f(x)≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e.故a的取值范围为[e，＋∞).
探究2 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？
【提示】 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题. 如f(x)>0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可. 如f(x)<0恒成立，只要f(x)的最大值小于0即可.
以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参数不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数.
设函数f(x)＝tx＋2tx＋t－1(x∈R，t>0). (1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围. 【精彩点拨】 (1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；
(2)构造函数g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0，2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围.
【自主解答】 (1)∵f(x)＝t(x＋t)－t＋t－1(x∈R，t>0)， ∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t＋t－1， 即h(t)＝－t＋t－1.
3
3
2
3
2
2
6
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去). 当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
2
3
t g′(t) g(t) (0，1) ＋ 单调递增? 1 0 极大值1－m (1，2) － 单调递减? ∴g(t)在(0，2)内有最大值g(1)＝1－m. h(t)<－2t＋m在(0，2)内恒成立等价于g(t)<0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m<0，
∴m的取值范围为(1，＋∞).
1.“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.
2.此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”.
[再练一题]
4.设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x－x－3.
(1)如果存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
ax32
?1?(2)如果对于任意的s，t∈?，2?，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围. ?2?
【解】 (1)存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max
≥M.
由g(x)＝x－x－3，
3
2
?2?2
得g′(x)＝3x－2x＝3x?x－?.
?3?
2?2?由g′(x)>0，得x<0或x>，又x∈[0，2]，所以g(x)在?0，?上是单调递减函数，在3?3?
?2，2?上是单调递增函数，所以g(x)＝g?2?＝－85，g(x)＝g(2)＝1.
?3?min?3?max
27????
112
故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝≥M，
27则满足条件的最大整数M＝4.
?1??1?(2)对于任意的s，t∈?，2?，都有f(s)≥g(t)成立，等价于在?，2?上，函数f(x)min?2??2?
7
≥g(x)max.
?1?由(1)可知在?，2?上，g(x)的最大值为g(2)＝1. ?2?
a?1?2
在?，2?上，f(x)＝＋xln x≥1恒成立等价于a≥x－xln x恒成立.
x?2?
?1?2
设h(x)＝x－xln x，h′(x)＝1－2xln x－x，可知h′(x)在?，2?上是减函数，又h′(1)
?2?
1
＝0，所以当1
2
?1?2
即函数h(x)＝x－xln x在?，1?上单调递增，在[1，2]上单调递减，所以h(x)max＝h(1)
?2?
＝1，即实数a的取值范围是[1，＋∞).
[构建·体系]
?函数的最
?大（小）值—
求最值导数在实与导数?—的步骤实际问题中
—际问题中—
?与方法的应用 导数的意义
1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温132
度(单位：℃)为f(x)＝x－x＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
3
A.8 C.－1
B.20 3
?—最大值
—最值—?
?—最小值?
D.－8
2
2
【解析】 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x－2x＝(x－1)－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
【答案】 C
2.函数y＝x－4x＋3在区间[－2，3]上的最小值为( ) A.72 C.12
4
4
B.36 D.0
3
【解析】 因为y＝x－4x＋3，所以y′＝4x－4.令y′＝0，解得x＝1.当x＜1时，y′＜0，函数单调递减；当x＞1时，y′＞0，函数单调递增，所以函数y＝x－4x＋3在x＝1
8
4
处取得极小值0.而当x＝－2时，y＝27，当x＝3时，y＝72，所以当x＝1时，函数y＝x－4x＋3取得最小值0.
【答案】 D
3.函数y＝x在[0，2]上的最大值为________.
e【解析】 ∵y′＝
4
xx′·ex－x（ex）′1－x（e）
x2
＝e
x，
令y′＝0，得x＝1∈[0，2]. 12
∴f(1)＝，f(0)＝0，f(2)＝2，
ee1
∴f(x)max＝f(1)＝.
e1
【答案】
e
4.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x－x(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台.
【解析】 设利润为y，则y＝y1－y2＝17x－(2x－x)＝－2x＋18x(x＞0)， ∴y′＝－6x＋36x＝－6x(x－6).
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点.
【答案】 6
5.已知a为实数，f(x)＝(x－4)·(x－a). (1)求导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值. 【解】 (1)由原式得f(x)＝x－ax－4x＋4a， ∴f′(x)＝3x－2ax－4. 1
(2)由f′(－1)＝0，得a＝，
2
2
3
2
2
2
2
3
2
3
2
3
2
2
?1?2
此时有f(x)＝(x－4)·?x－?，
?2?
f′(x)＝3x2－x－4.
4
由f′(x)＝0，得x＝或x＝－1.
3509?4?又f??＝－，f(－1)＝， 272?3?
f(－2)＝0，f(2)＝0，
9
950
∴f(x)在[－2，2]上的最大值为，最小值为－. 227
我还有这些不足：
(1) (2) 我的课下提升方案：
(1) (2)
10