第二节 正项级数的判别法
一般情况下，利用定义和准则来判断级数的收敛性是很困难的，能否找到更简单有效的判别方法呢？我们先从最简单的一类级数找到突破口，那就是正项级数.
分布图示
★ 正项级数 ★ 比较判别法
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 比较判别法的极限形式
★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10
★ 比值判别法 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 根值判别法 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题7-2
内容要点:
一、 正项级数收敛的充要条件是：它的部分和数列{sn}有界. 以此为基础推出一系列级数收敛性的判别法：
比较判别法；比较判别法的极限形式；推论（常用结论）
比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法. 对一给定的正项级数，如果要用比较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行比较，并应用定理2进行判断. 只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法. 至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及p?级数等. 要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式. 但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出比较判别法的极限形式.
使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难. 下面介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性. 比值判别法（达朗贝尔判别法）：适合un?1与un有公因式且lim大的情形.
根值判别法（柯西判别法）：适合un中含有表达式的n次幂，且limnun?? 或等于
n??un?1 存在或等于无穷
n??un??的情形.
积分判别法：对于正项级数
?a,，如果{a}可看作由一个在[1,??)上单调减少函数
n?nn?1f(x)所产生, 即有an?f(n). 则可用积分判别法来判定正项级数?an的敛散性.
n?1?
例题选讲：
比较判别法的应用:
例1（E01）讨论p?级数
1的收敛性，其中常数p?0. ?pnn?1?解 p?1时，?11?,?p?级数发散. pnnp?1时，由图可见
ndx1?, np?n?1xp111sn?1?p?p???p
23n ?1??21ndxndxdx1?1?1????1??1?1??1?, ??pppp?1??n?11p?1?n?p?1xxx即sn有界，?p?级数收敛. 当p?1时收敛 故p?级数 . 当p?1时发散
例2（E02）证明级数
?n?1?1是发散的.
n(n?1)证 ??11发散， ?,而级数
n?1n(n?1)n?1n?11??
?n?1?1n(n?1)发散.
例3（E03）判别级数
?(n?1)(n?2)2n?1?2n?12的收敛性.
解 运用比较判别法.因
2n?12n?222???, 222233(n?1)(n?2)(n?1)(n?2)(n?1)n而
?
1是收敛的,所以原级数收敛. 3n?1n?例4 设级数
?an?1?n及
?bn?1?n都收敛,且
an?cn?bn(n?1,2,?).
证明:级数
?cn?1?n也收敛.
证 由an?cn?bn得0?cn?an?bn?an(n?1,2,?). 由于
?an?1n?n与
?bn?1?n都收敛,故
?(bn?1n?n?an)是收敛的,从而由比较判别法知,正项级数
?(cn?1??an)也收敛.再由
?an?1?及
?(cn?1n?n?an)的收敛性可推知:级数
?c??[an?1n?1??n?(cn?an)]
也收敛.
?例5 设an???4040tanxdx，证明级数?nan(??0)收敛. ?nn?1??证 由an??tanxdx?n?40tannxsec2xdx
???401??tann?1xtanxdtanx?n?1??n?40???1?1 ?n?1n?得0?ann??11???1,因为所以收敛, .1??1??nn?1n1??由比较判别法知
?n?收敛.
n?1?an
比较判别法及其推论的应用：
例6（E04）判定下列级数的敛散性:
1??(1) ?ln?1?2?; (2)
?n?n?1??n?1????n?1?1?cos?.
n??1?1?11??解 (1)因ln?1?2?~2(n??),故 limn2un?limn2ln?1?2??limn2?2?1
n??n???n?n?n?n??n根据极限判别法,知所给级数收敛.
???n3/2unn?1?1?cos? n3/2un?lim(2)因为 limn??n??n???limnn??2n?11???1?????2, n2?n?22根据极限判别法, 知所给级数收敛.
(n?a)n例7 判别级数?的敛散性. n?ann?1?a?a??n1?1?????(n?a)nn?n????, ?解 记un?nannnann?an?nn采用比较法的极限形式,取vn?1,因 anu?a?limn?lim?1???ea?0, n??vn???n?nn所以原级数与级数
?1具有相同的敛散性,从而知 ann?1?(n?a)n当a?1时，级数收敛; n?an?1n????(n?a)n当a?1时，级数发散. n?ann?1
例8 判别级数
?sin?的敛散性. ??nn??n?1????????解 选取级数??作比较.
nn?1????3x?sin?sin1?cosx1nn?1. n由 lim3?lim2?, 可得 lim3x?0x?0n??66x3x??????n???????因级数??收敛,所以原级数也收敛.
nn?1????3注:从以上解答过程中可以看到极限中的某些等价无穷小在级数审敛讨论时十分有用的,事实上级数的收敛性取决于通项un趋向于零的“快慢”程度.
例9（E05）判别级数
n?1??1?ln??的敛散性. ?n?n?1?n?解 令u(x)?x?ln(1?x)?0(x?0),v(x)?x2.由于
x?ln(1?x)?lim2x???x???xlim1??ln?1?n?从而 lim1n??n21??n?1?1111?x?lim?,
x???2(1?x)2x21n?1?lnn?1. ?limn1n??2n2由级数
?1的收敛推知本题所给级数也收敛. 2n?1n??111p?1例10 级数 当时收敛, 有人说, 因为 故级数收敛. 你认,1??1,1pn1?nn?1n?1nn???为他的说法对吗?
解 不对.前者p?级数的p是一常数与n无关,而后者1?1nn??1/nlim1?1n1与n有关,事实上 n?lim(nn)?1?1
n???11由级数的发散性,可知级数也发散. 1nn?11?nn?1n???
比值判别法的应用：