例11（E06）判别下列级数的收敛性：
1(1) ?； (2)
n?1n!??n!; (3) nn?110??(2n?11)?2n.
n?1??un?11/(n?1)!11n??解 (1)收敛. ????0,故级数??unn!1/n!n?1n?1??un?1(n?1)!10nn!n????(2)故级数发散. ?????,n?1nunn!10n?110?(3)limun?1(2n?1)?2n?lim?1,比值判别法失效,改用比较判别法,
n??un??(2n?1)?(2n?2)n
??1111因为收敛,所以收敛. ?2,而级数2(2n?1)?2nn(2n?1)?2nnn?1n?1??
n2例12（E07）判别级数?的收敛性. nn?1(2?1/n)??n2n2n2?,而对于级数解 因为,由比值判别法,因 n1n2n2n?1(2?)n?un?1(n?1)22n111lim?limn?1?2?lim(1?)2??1, n??un??2n??2nn2nn2所以级数收敛,从而原级数亦收敛. n2n?1??
n!an例13 判别级数?n(a?0)的收敛性.
n?1n?解 采用比较判别法,由于
un?1aan?1(n?1)!nnalim?lim?lim??, nn?1nn??un??n??e(1?1/n)(n?1)a?n!n所以当0?a?e时，原级数收敛;当a?e时，原级数发散;当a?e时，比值法失效,但此时注意到:
?1??1?数列xn??1??严格单调增加,且?1???e,
?n??n?nn于是
un?1e??1,即un?1?un,故un?u1?e,由此得到limun?0,所以当时原级数发散.
n??unxn
根值判别法的应用：
例14（E08）判别级数
1?1?????n??n?1?n2的收敛性.
解 一般项含有n次方, 故可采用根值判别法. 因为 故所求级数收敛.
例15（E08）判别级数解 因为
limnun?lim2?n?(?n)?lim2n??n??limnn??un?1??limn?1??n???n?n21?1??lim?1????1 n???n?en?2?n?(?1)的收敛性.
n?1?1?(?1)nn?nnnn???1?1 2由根值判别法知题设级数收敛.
2?(?1)n例16判别级数?的收敛性. n2n?1?2?(?1)n13解 因为n? ?2n22nn112?(?1)131n而 limnn?,limnn? lim??1 nn??22n??2n??222故原级数收敛.
课堂练习
21.设正项级数?un收敛, 能否推得?un收敛? 反之是否成立?
n?1n?1??2.判别下列级数的收敛性
???(1)??1?cos?;n?n?1?
?n?2(2)?n;n?12?(3)?n. ne?1n?1?达朗贝尔（D’Alember Jean Le Rond，1717~1783）
达朗贝尔是法国物理学家、数学家。1717年11月17日生于法国巴黎；1783年10月29日卒于巴黎。
达朗贝尔是私生子，出生不久便被母亲遗弃在巴黎的圣.让勒龙教堂的石阶上。后被一宪兵发现，临时用该教堂的名字作为婴儿的教名。姓氏达朗贝尔是他长大后自己取的。
达朗贝尔少年时被父亲送入一个教会学校，主要学习古典文学、修辞学和数学。他对数学特别有兴趣，为后来成为著名数理科学家打下了基础。达朗贝尔没有受过正规的大学教育，靠自学掌握了牛顿和当代著名数理科学家们的著作。1739年7月，他完成第一篇学术论文，以后两年内又向巴黎科学院提交了5篇学术报告，这些报告由A.C.克莱洛院士回去复。经过几次联系后，达朗贝尔于1746年提升为数学副院士；1754年提升为终身院士。
达朗贝尔的研究工作和论文写作都以快速闻名。
他进入科学院后，就以克莱洛作为竞争对手，克莱洛研究的每一个课题，达朗贝尔几乎都要研究，而且尽快发表。多数情况下，达朗贝尔胜过克莱洛。这种竞争一直到克莱洛去世（1765）为止。
达朗贝尔终生未婚，但长期与沙龙女主人J.de勒皮纳斯在一起。他的生活与当时哲学们一样，上午到下午工作，晚上去沙龙活动。1765年，达朗贝尔因病离开养父母的家，住到勒皮纳斯小姐处。在她精心照料下恢复了健康，以后就继续住在那里。1776年，勒皮纳斯小姐去世，达朗贝尔非常悲痛；再加上工作的不顺利，他的晚年是在失望中度过的，达朗贝尔去世后被安葬在巴黎市效墓地，由于他的反宗教表现，巴黎市政府拒绝为他举行葬礼。
达朗贝尔是多产科学家，他对力学、数学和天文学的大量课题进行了研究；论文和专著很多，还有大量学术通信。仅1805年和1821年在巴黎出版的达朗贝尔《文集》就有23卷。
达朗贝尔作为数学家，同甘共18世纪其他数学家一样认为求解物理问题是数学的目标。正如他在《百科全书》序言中所说：科学处于从17世纪的数学时代到18世纪的力学时代的转变，力学应该是数学家的主要兴趣。他对力学的发展作出了重大贡献，也是数学分析中一些重要分支的开拓者。