学科网2018年高考数学讲练测【新课标版理】【讲】 第三章 导数
第03节 导数的综合应用
【考纲解读】
考 点 考纲内容 ①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。学*科网 1.导数在研究函数②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分5年统计 2013·新课标I.16，21;新课标II.10，21; 2014?新课标I.11， 21;新课标II. 8,21; 2015?新课标I. II.12,21; 2016?新课标I. 7，21;II.16,21;III.15,21; 2017?新课标I.21；II. III.11,21. 分析预测 1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； 2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；[来源:Z&xx&k.Com]中的应用 条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）。 近5年无.2.生活中会利用导数解决某些实的优化问题[来源:学_科_网Z_X_X_K][来源学科网] 3.适度关注生活中的优化问题.[来源学*科*网] 3.备考重点： (1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；[来源:Z§xx§k.Com] 际问题。 (2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！
基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题. 【知识清单】
1. 利用导数研究函数的图象与性质
函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等.解决此类问题应先观察选项的不同之处，然后根据不同之处研究函数的相关性质，进而得到正确的选项.如该题中函数解析式虽然比较复杂，但借助函数的定义域与函数的单调性很容易利用排除法得到正确选项.
对点练习：
【2016·全国卷Ⅰ】函数y＝2x－e在[－2,2]的图象大致为( )
2
|x|
【答案】D
【解析】当x≥0时，令函数f(x)＝2x－e，则f′(x)＝4x－e，易知f′(x)在[0，ln 4)上单调递增，在
2
xx?1?2
[ln 4,2]上单调递减，又f′(0)＝－1<0，f′??＝2－e>0，f′(1)＝4－e>0，f′(2)＝8－e>0，所以存
?2?
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?1?在x0∈?0，?是函数f(x)的极小值点，即函数f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0,2)上单调递增，且该函数?2?
为偶函数，符合条件的图象为D.
2．与函数零点有关的参数范围问题
1．方程f(x)?0有实根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点． 2．求极值的步骤：
①先求f'(x)?0的根x0（定义域内的或者定义域端点的根舍去）；
②分析x0两侧导数f(x)的符号：若左侧导数负右侧导数正，则x0为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则x0为极大值点.
3．求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域. 4．函数y?f(x)的零点就是f(x)?0的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.
'对点练习：
【2016新课标1卷】已知函数f?x???x?2?e?a?x?1?有两个零点.
x2(I)求a的取值范围；
(II)设x1,x2是f?x?的两个零点,证明：x1?x2?2. 【答案】(0,??) 【解析】
（Ⅰ）f'(x)?(x?1)e?2a(x?1)?(x?1)(e?2a)．
x（i）设a?0,则f(x)?(x?2)e,f(x)只有一个零点．
xx（ii）设a?0,则当x?(??,1)时,f'(x)?0；当x?(1,??)时,f'(x)?0．所以f(x)在(??,1)上单调递减,在(1,??)上单调递增．
又f(1)??e,f(2)?a,取b满足b?0且b?lna,则 2 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！
f(b)?a3(b?2)?a(b?1)2?a(b2?b)?0, 22故f(x)存在两个零点．
（Ⅱ）不妨设x1?x2,由（Ⅰ）知x1?(??,1),x2?(1,??),2?x2?(??,1),f(x)在(??,1)上单调递减,所以x1?x2?2等价于f(x1)?f(2?x2),即f(2?x2)?0． 由于f(2?x2)??x2e2?x2?a(x2?1)2,而f(x2)?(x2?2)ex2?a(x2?1)2?0,所以
f(2?x2)??x2e2?x2?(x2?2)ex2．
设g(x)??xe2?x?(x?2)ex,则g'(x)?(x?1)(e2?x?ex)． 所以当x?1时,g'(x)?0,而g(1)?0,故当x?1时,g(x)?0． 从而g(x2)?f(2?x2)?0,故x1?x2?2．
3．与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题
不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．
?恒成立?f(x)min?a?f(x)?a：?有解?f(x)max?a
?无解?f(x)?amax?对点练习：
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设0?a?1，函数f(x)?x?a,g(x)?x?lnx，若对任意的x1,x2?[1,e]，都有f(x1)?g(x2)成立，则xa的取值范围为 ．
【答案】[e?2,1]
【解析】因为设a?0，函数f(x)?x?a,g(x)?x?lnx，若对任意的x1,x2?[1,e]，都有f(x1)?g(x2)x成立，则只需要f(x1)minax2?ax?1,g'(x)?，利用单调性?g(x2)max，则利用导数求解f'(x)?1?2?xx2x求解最值得到a的范围．
4．利用导数证明、解不等式问题
无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.
对点练习：
【2017课标II，理】已知函数f?x??ax?ax?xlnx，且f?x??0。
2(1)求a；
(2)证明：f?x?存在唯一的极大值点x0，且e【答案】(1)a?1； (2)证明略。 【解析】
?2?f?x0??2?2。
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