?X(ej?)?X(z)|z?ej? ?1
1?e?ae?j?(3)???X(z)?Z?e?(??j?0)nu(n)? ?1 1?e?(??j?0)z?1?X(ej?)?X(z)|z?ej? ?1 1?e???e?j(???0)
(4)???X(z)?Z?e?anu(n)cos(?0n)?
?1?z?1e?acos?01?2z?1e?acos??2a
0?z?2e∴X(ej?)?X(z)|z?ej?
1?e?j??e?acos?01?2e?j?e?acos??2j??2a 0?ee8. 若x1(n),x2(n)是因果稳定序列，求证：
1?j?j??j?2????X(e)X{112(e)d??2????X11(e)d?}{2?????X2(ej?)d?}分析：
利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解
x1(n)*x2(n)?1?j?2????X1(e)X2(ej?)ej?nd?
而 x1(n)*x2(n)n?0?x1(0)x2(0) ?1?j?j?2????X1(e)X2(e)d? ，
再利用x1(n)、x2(n)的傅里叶反变换，代入n = 0即可得所需结果。
证明:
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设 y(n)?x1(n)?x2(n) 则 Y(z)?X1(z)?X2(z)? Y(ej?)?X1(ej?)?X2(ej?)1? 2?
????X1(ej?)X2(ej?)ej?nd?1?j?j?nY(e)ed?2???? ?y(n)
?x1(n)?x2(n)?? 1?X1(ej?)X2(ej?)d?2??? ?x1(n)?x2(n)|n?0??n? ??x1(k)x2(n?k)??k?0?n?0?
?x1(0)?x2(0)?12?1 x2(n)?2???x1(n)?????X1(ej?)ej?nd?X2(ej?)ej?nd?????
∴x1(0)?1?j?X(e)d? 1???2?1?j?x2(0)?X(e)d? 22?????1?j?j?X(e)X(e)d?12???2?
??11?{?X1(ej?)d?}{?X2(ej?)d?}2???2???
9．求x(n)?R5(n)的傅里叶变换。
分析:
这道题利用傅里叶变换的定义即可求解，但最后结果应化为模和相角的关系。
解：根据傅里叶变换的概念可得：
X(e)?DTFT?RN(n)? ?j?N?1n?0?1?e?j? njN?2?jN?2
1?e?j? Nee?e ???111?j?j??j?1?e?j?e2e2?e2
?jN?2
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??e?j??N?1??2????sin?N?????, ???2sin2? ? ? 2k?,k为整数
??N, ? ? 2k???
?当??2k?时， X(ej?)? sin?N?2?sin??2?
argX(ej?)????N?1??2????arg?sin?N?2?sin??2??
????N?1?n?? ? 2?? ?2????n? , 2?NNn?1?
当N?5 时， 即可得到所需的 X(ej?) 和 argX(ej?) 。
10. 设X(ej?)是如下图所示的x(n)信号的傅里叶变换，
不必求出X(ej?)，试完成下列计算：
(a) X(ej0) (b) ????X(ej?)d? (c) ?22???X(ej?)d? (d)
??dX(ej?)??d?d?分析：
利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式
1?222????x(ej?)d??
n??x(n) 。???解：
j0?(a) X(e)?)e?j0?n??x(n)?6n?x(n???n????(b) ??j???(ej?)ej0d?
??X(e)d????X ?2 ? x(0) ?4 ?(c)由帕塞瓦尔公式可得：
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??2?2??X(ej?)d??2?x(n)?28?
n?????(d)∵X(ej?)?x(n)e?j?n
n????dX(ej??∴)d???(?jn)x(n)e?j?n
n???即DTFT?(?jn)x(n)??dX(ej?)d?
由帕塞瓦尔公式可得：
?2??dX(ej)????d??2?|(?jn)x(n)|2dn??????2?n2x2(n)
n?????2?(9?1?0?1?9?64?25?0?49)?316?11．已知x(n)有傅里叶变换X(ej?)，用X(ej?)表示下列信号的 傅里叶变换。
(a)xx?(?n)?x(n)1(n)?x(1?n)?x(?1?n)(b) x3(n)?2
(c) x2(n)?(n?1)2x(n)
分析：
利用序列翻褶后移位关系以及频域的取导数关系式来求解。
x(n)?X(ej?) , x(?n)?X(e?j?)x(m?n)?e?j?mX(e?j?) , j?
-jdX(e)d??DTFT[nx(n)] 。
解：
(a) DTFT?x(n)??X(ej?)
DTFT?x(?n)??X(e?j?) DTFT?x(1?n)??e?j?X(e?j?)
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DTFT?x(?1?n)??ej?X(e?j?)
DTFT[x1(n)]?X(e?j??ej?] ? 2 X (e?j?)co?s
(b) DTFT[x?(?n)]?X?(ej?)
因而：DTFT[xn)?X*(ej?)?X(ej?)2(2 ?Re[X(ej?)](c) X(ej?)?
n??x(n)e?j?n ???dX(ej??则 )??n?(?jn)x(n)e?j?nd
???即 DTFT?nx(n)??dX(ej?)(?j)d? ?jdX(ej?)
d?同理:DTFT?n2x(n)? ?j?djdX(ej?)
d?(d?)??d2X(ej?)d?2 而 x3(n)?n2x(n)?2nx(n)?x(n) 所以
DTFT?x3(n)?
?DTFT?n2x(n)??2DTFT?nx(n)? ?DTFT?x(n)? ??d2X(ej?)dX(ej?d?2?2j)d??X(ej?) 12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统 y(n)?y(n?1)?y(n?2)?x(n?1)
(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域；
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