第2讲 实数
第一部分 知识梳理
1.实数的组成与分类
???正整数???正整数正有理数??????正实数??正分数?整数零????正无理数??负整数?有理数??????? ??实数还可以分为零?实数?正分数??分数???有限小数或无限循环小数????负分数?负整数?????负有理数????负实数??负分数?正无理数???无理数??无限不循环小数?负无理数负无理数???????
2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应
3.相反数、绝对值、倒数
①相反数：只有符号不同的两个数回味相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。 ②绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为 | a |
③倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为1/a.0没有倒数。 ④相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1.
4.平方根与立方根
①平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作?a(a?0) 特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。 正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。 开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
②立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根 。数a的立方根用3a表示。
特性：任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。
开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。 ③正确理解：
a、-a、?a、3a
2
33 ④几个性质：a?a、a?a(a?0)、3a?a、（a）?a
5.实数大小比较的常用方法
①数轴法、 ②比差法、 ③平方法、 ④比商法、 ⑤倒数法、 ⑥取近似值法
6.实数的化简与运算
2 ①分母有理化 ②乘法法则： ③除法法则：
a?b?ab(a?0;b?0)与ab?a?b(a?0;b?0)
aaaa?(a?0;b?0) ?(a?0;b?0)与
bbbb
1
第二部分 精讲点拨
考点1. 有关概念的识别
?223??2 【例1】下面几个数：?12,0,,?125,0.1010010001?,10,0.3,?，其中无理数的个数
72
有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1 下列说法中正确的是（ ） A．
81的平方根是±3 B．1的立方根是±1 C．1=±1 D．-5是5的平方根的相反数
变式2 如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半 径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ） A．1 B．1.4 C．2 D．
123
变式3 多项选择题：下列各数没有算术平方根的是（ ），有立方根的是（ ）
A．－﹙－2﹚ B．(?3)3 C．(?1)2 D．11.1
变式4 已知 x=m?nm?n?3是m+n+3的算术平方根，y=m?2n?3m?2n是m+2n的立方根，则y-x的立方根为 .
小结： 考点2. 实数基础训练
【例2】（1）9的平方根是 ；
25的算术平方根是 ；10?2的算术平方根是 ．
（2）8的立方根是 ；-27立方根是__________；3?27＝ ．
（3）
218?_________； ?169?___________；?3?___________． 427 变式1 求下列各式中的x （1）x
变式2 如果3x?5+1有意义，则x可以取的最小整数为 ，若有意义，最小值是 。 变式3 已知y?小结：
2
2?25 （2）(x?1)2?9 （3）x3??164 （4）(2x?1)3??8
x?2?2?x?4，则y的值为 。
x 考点3. 估值
【例3】下列计算结果正确的是（ ） A.
0.43?0.066 B.895?30 C.2536?60.4 D.3900?96
26?a，则下列结论正确的是（ ）
变式1 设 A.
4.5?a?5.0 B. 5.0?a?5.5 C. 5.5?a?6.0 D. 6.0?a?6.5
变式2 在无理数
5，6，7，8中，其中在
8?126?1与之间的有（ ）
22D.4个
A.1个 B.2个 C.3个
变式3 已知圆面积为10?，求圆的半径x？（误差小于0.1）
变式4 一片矩形小树林，长是宽的3倍，而对角线的长为
44000米，每棵树占地1米2，这片树
林共有多少棵树？小树林的长大约是多少米？（结果精确到1米）
小结： 考点4. 数轴、数形结合
【例4】如图，实数a在数轴上的位置如点A所示，则a，－a，
A.a<－a<
12
，a的大小关系是（ ） a12 111
A．2－1 B．1－2 C．2－2 D．2－2 变式2 实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简a+│a+b│－
变式3 利用勾股定理在如图所示的数轴上找出点－
c2－│b－c│．
bc0a5和2+1.
小结：
3
考点5. 比较大小 【例5】设
A.a>b
1111=,=,下列关系中正确的是（ ） a6b22 B.a≥b
C.a
D.a≤b
变式1 若a=?32,b=-∣－2∣，c=?3(?2)3,则a、b、c的大小关系是（ ）. A.a＞b＞c B.c＞a＞b C.b＞a＞c D.c＞b＞a 变式2 比较下列各组数的大小：
（1）? （3）
变式3 将
3?1与?5?1 （2）35与211
11?13与10?14 （4）?122与?1 4555，，三数按从小到大的顺序用“<”号连接起来 。 777 考点6. 相反数、倒数、绝对值
【例6】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，e是非零实数，求
变式1
2（a+b）+
10
cd－2e的值； 23?22的倒数是__________，相反数是_______，绝对值是 3?7的相反数是 ；绝对值等于3的数是 ．-27立方根是_________．
2 变式2 若m?n?n?m,且m?4,n?3,求(m?n)? 。 变式3 已知数轴上两点A、B到原点的距离分别是 变式4 点A在数轴上表示的数为3 变式5 已知
小结：
4
2和2，则A?B?
5，点B在数轴上表示的数为?5，则A，B两点的距离为______
2?x?1?y?0,且x?y?y?x,求x?y的值.
考点7. 化简
m3 【例7】82化为最简二次根式是
n 变式1 下列各组中，是同类二次根式的是（ ） A．
2与6 B．3与9 C．2与8 D．3与6
32a2（a?0） （2）化简a2?2a?1?a?2（1≤a≤2）
变式2 化简
变式3 已知x? （1）
5?3， y?5?3，求下列各式的值。
1yx (2)? (3)xy xxy 变式4 实数a,b在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简b?a
变式5 已知a、b、c为△ABC的三边长，请化简
小结： 考点8. 非负数性质的应用
【例8】已知?ABC的三边长a,b,c满足 变式1 若
2?(a?b)2
(a?b?c)2?(c?a?b)2。
a?5?b?4?(c?3)2?0则?ABC是 三角形。
a?2?b?3??c?4??0，则a?b?c? ．
变式2 已知x、y是实数，且 A．
3x?4+ y2－6y+9 =0，若axy－3x=y，则实数a的值是（ ）
1177 B．－ C． D．－ 44445