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浅谈新课标下数学直觉思维在课堂教学中
的应用
张 本 霖
[摘要] 数学直觉思维就是人脑对数学对象及其结构关系的一种迅速的判断与敏锐的想象。它具有多方面的特点(直接性、简约性、创造性、自信心等)，在数学的学习中具有提出新概念、正确的选择、帮助教学等作用。正是这些作用，我们可以通过打好学生基础、培养数学审美观、引导学生考虑问题和展开想象来对学生的直觉思维进行培养。 [关键词] 直觉思维 猜想 数学美
中学数学教学大纲（试验修订本）将培养学生的三大能力之一的“逻辑思维能力”改为“思维能力”，虽然只是去掉了两个字，但是它的概念的内涵却变得更加丰富，人们在教育的实践中实现了认识上的转变。在注重逻辑思维能力培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、想象力的培养。特别是学生的直觉思维能力，由于长期得不到重视，导致了学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解，认为数学是枯燥无味的。同时对数学的学习也缺乏取得成功的必要的自信心，从而丧失了对数学学习的兴趣，反而过多的去注重逻辑思维能力的培养，不利于思维能力的整体发展。培养直觉思维能力是社会发展的需要，更是适应新时期社会对人才的需求。
一、问题的提出
教师在教学中常见到这样的情况:在课堂上题目刚刚写完,老师还来不及解释题意,有的学生立刻报出了答案。这样的学生当中,有的数学基础比较差,有时却能直觉判断出结果。若要问他为什么？他则回答说：“我想是这样的。”这时其他同学会笑他瞎猜，对于这种情况，教师应该如何处理学生解决问题中的直觉思维呢？
另据《中国青年报》报道，“约30%的初中生在学习了平面几何推理之后，丧失了对数学学习的兴趣”，为什么又会出现类似的现象呢？笔者认为，在教育过程当中，老师由于将证明过程过分的严格化、程序化，学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳，直觉的光环完全被掩盖住了，而把成功往往归功于逻辑的功劳，对
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自己的直觉反而被忽略了，学生的内在潜能没有被充分地激发出来，学习的兴趣没有被调动起来，得不到真正的乐趣。这种现象应该引起数学教育者的重视和反思。
二、数学直觉思维的界定
(一)数学直觉思维的含义
直觉思维是一种客观存在的思维方式，它具体表现为思维主体在解决问题时，运用已有的经验和知识，对问题从总体上直接加以认识把握，以一种高度省略、简化、浓缩的方式洞察问题的实质，并迅速解决问题或对问题作出某种猜测。大量的科学史实证明，在科学认识活动中，科学家常常依靠直觉进行辨别、选择，找到解决问题的正确道路或最佳方案；也常常凭借直觉启迪思路，发现新的概念、新的方法和新的思想，建立新的科学理论体系。
数学直觉思维就是人脑对数学对象及其结构关系的一种迅速的判断与敏锐的想象。这种想象和判断没有严格的逻辑依据，没有经过明显的中间推理过程，思维者对其过程也无清晰的意识。
(二)直觉与直观、直感的区别
直观与直感都是以真实的事物为对象，通过各种感觉器官直接获得的感觉或感知。例如：等腰三角形的两个底角相等，两个角相等的三角形是等腰三角形等概念、性质的界定并没有一个严格的证明，只是一种直觉形象的感知而已。而直觉的研究对象则是抽象的数学结构及其关系。庞加莱说：“直觉不必建立在感觉明白之上，感觉不久便会变得无能为力。例如，我们仍无法想象千角形是何模样，但我们能够通过直觉一般地思考多角形，多角形把千角形作为一个特例包括进来。” 由此可见直觉是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作为思考的背景。正如迪瓦多内所说：“这些富有创造性的科学家与众不同的地方，在于他们对研究的对象有一个活生生的构想和深刻的了解，这些构想和了解结合起来，就是所谓的‘直觉’??，因为它适用的对象，一般说来，在我们的感官世界中是看不见的。”
(三)直觉与逻辑的关系
从思维形式上来看，思维可以分为逻辑思维和直觉思维。长期以来，人们 都是刻意的把两者分离开来，其实这是一种误解，逻辑思维与直觉思维从来就不
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是割离的，而是相互影响，相互联系的。有一种观点认为逻辑重于演绎，而直觉重于分析，从侧重角度来看，此话不无道理，但侧重并非就等于是完全的，数学逻辑中是否会有直觉成份？数学直觉是否会具有逻辑性？比如在日常生活中有许许多多说不清道不明的东西，人们对各种事件作出判断与猜想离不开直觉，甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界的反映，它是人们对生活现象与世界运行的秩序的体现，再以数学的形式将思考的理性过程格式化。数学最初的概念都是基于直觉，而数学在一定程度上就是在问题解决中得到形成与发展的，问题的解决当然也就离不开直觉。下面我们就以数学问题的证明为例，来考察直觉在证明过程中所起的作用。
一个数学题目的证明可以分解为许多基本运算或许多“演绎推理元素”，一个成功的数学证明是这些基本运算或 “演绎推理元素”的一个成功的组合，仿佛是一条从出发点到目的地的通道,一个个基本运算和“演绎推理元素”就是这条通道中的一个个路段,当一个成功的摆放在我们的面前时,逻辑可以帮助我们确信沿着这条路必定能顺利的到达目的地,但是逻辑却不能够告诉我们,为什么这些路径的选取与这样的组合就可以构成一条通道。事实上，我们发现出发不久就会遇到叉路口，也就是遇到了正确选择构成通道的路段的问题。庞加莱认为，“即使能复写出一个成功的数学证明，但不知道是什么东西造成了证明的一致性，??，这些元素安置的顺序比元素本身更加重要。”笛卡儿认为在数学推理中的每一步，直觉力都是不可缺少的。就好似我们平时打篮球，要靠球感一样，在快速运动来不及去作逻辑判断，动作只是下意识的，而下意识的动作正是平时训练中所产生的一种直觉。 (四)直觉思维与灵感
富克斯则说：“伟大的发现，都不是按逻辑的法则发现的，而是由猜测得到的，换句话说，大都是凭借创造性的直觉得到的。”
数学直觉思维就是人脑对数学对象及其结构关系的一种迅速的判断与敏锐的想象。直觉思维缺少清晰的确定步骤，它倾向于首先以对整个问题的理解为基础进行思维，人们获得答案（这个答案或对或错）而意识不到求解过程。直觉思维基于对该领域的基础知识及其结构的了解，正是这一点才能使一个人能以飞跃、迅速和放过个别细节的方式进行直觉思维。高度的直觉来源于丰富的学识和经验，它不是个别天才的特有，而是一种基本的思维方式。数学直觉思维是一种潜逻辑性的思维。灵感是直觉思维的一种表现形式，是一种突发性的创造劳动。
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它一经触发就会被突然催化，使感性材料突然升华为理性的认识。灵感能够冲破人的常规思路，为人类创造性思维活动突然开启一个新的境界。灵感与直觉想象，自古以来孕育出无数伟大的创造杰作。直觉思维中有灵感思维也有非灵感思维即普通直觉思维。著名美国心理学家布鲁纳说：“一方面，说某人是直觉思维，即他花了许多时间做一道题目，突然间他做出来了，但是还需为答案指出形式证明。另一方面，说某人是具有良好直觉能力的数学家。当别人向他提问时，他能迅速作出很好的猜测，判定某事物是这样，或者说出在几种解题方法中将被证明有效。前一种就属于灵感直觉思维，而后一方面则属于普通的直觉思维。”灵感直觉思维作为一种高级心理活动也有规律可循，若能自觉诱发灵感，它就可以为人类的创造事业服务。数学教师在数学教学中若能激发学生的直觉思维，诱发灵感，则可以提高学生分析问题，解决问题的兴趣和能力。
三、直觉思维及其主要特点
爱因斯坦曾经说过：“我相信直觉与灵感，真正可贵的因素是直觉。” 直觉思维具有自由性、灵活性、自发性、偶然性和不可能性等的特点。从培养直觉思维的必要性来分析，直觉思维有以下四个主要特点：
1.直接性
数学直觉思维是直接反映数学对象，结构以及关系的思维活动，它表现为对认识对象的直接领悟或洞察。它在时间上表现为快速性，即直觉思维有时是在一刹那间完成的；在过程上表现为跳跃性，思维者不是按部就班的推理，而是径自指向问题后的结论，似乎不存在中间的推导过程。
2.简约性
直觉思维是对思维对象从整体上考察，调动自己的全部知识经验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设、猜想或判断，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了“跳跃式”的形式。它是一瞬间的思维火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化，但是它却清晰的触及到事物的“本质”。
3.创造性
当代的社会发展需要的是创造性的人才，我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验，过多的去培养逻辑思维，培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规，
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缺乏创造力和开拓精神。直觉思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节的推敲，是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性，它的想象才是丰富的、发散的，使人的认知结构向外无限扩展，因而具有独创性。
斯图加特说：“直觉是真正的数学家赖以生存的东西。”许多重大的发现都是基于直觉。阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法；欧几里得几何学的五个公式都是基于直觉。
4.自信心
学生对数学产生兴趣的原因有两种：一种是教师的人格魅力，其二是来自数学本身的魅力。不可否认情感的重要作用，但是兴趣更多来自数学自身。成功可以培养一个人的自信，直觉发现伴随着很强的自信心。相比其它的物质奖励和情感激励，这种自信更稳定，更持久。如果一个问题不用通过逻辑证明而是通过自己的直觉得到，那么成功带来的震撼是巨大的，内心的学习兴趣增强，从而更加相信自己。现在的很多中学生极少具有直觉意识，对于有限的直觉也是将信将疑的，不能从整体上驾驭问题，从而不能形成自信。
四、直觉思维在数学学习中的作用
法国数学家庞加莱认为：“逻辑是证明的工具，直觉是发明的工具。”数学家们十分重视直觉思维在数学研究中的作用，把它视为数学创造的重要工具。在数学学习过程中，直觉思维是必不可少的，它是分析和解决实际问题的能力的一个重要组成部分，是一个有着潜在开发学生智力意义的不可忽视的因素。
（一） 有助于提出新的概念
直觉思维的运用可以促进提出数学新概念和新理论，提出新的数学思想。特别是当逻辑思维方法无能为力时，常常靠直觉来洞察本质达到核心。例如：直觉思维在创立非欧几何中发挥了重大作用。十九世纪俄国数学家罗巴切夫斯基和德国数学家黎曼，在企图证明欧几里得的第五公式的过程中，没有局限于用形式逻辑思维方法去思考，各自凭借思维的洞察力，凭借直觉提出有关平行问题的两种不同公理，从而建立了非欧几何。
（二） 正确的选择作用
凭直觉思维可以在数学创造中进行正确的选择，提供解题方法。这里所说的“选择”包括：选择突破目标，选择研究方法和研究策略，选择解决问题的思路