（1）纵向变位?时罐体中间圆柱体体积与高度的关系
在问题一中柱体的底面是椭圆，此时，柱体的底面是圆。可以将问题一中公式（4-14）进行变换即可。公式（4-14）为
3?1?22?(2b(H?Ltan??Ltan?)?(H?Ltan??Ltan?))???116??2?b((H?L1tan??Ltan?)?b)(H?L1tan??Ltan?)?b?arcsin?2a?2b??V中间(H)??22btan??b2b(H?Ltan??Ltan?)?(H?Ltan??Ltan?)?11????2????2?b(H?Ltan??Ltan?)1???4?3?1?22?(2b(H?Ltan?)?(H?Ltan?))???116??2?b((H?L1tan?)?b)(H?L1tan?)?b?arcsin?2a?2b???22btan??b2b(H?Ltan?)?(H?Ltan?)?11????2????2?b(H?Ltan?)1???4?（5-11）
只要令a?b?R，其中R为底面圆的半径。可得
3?1?22?(2R(H?Ltan??Ltan?)?(H?Ltan??Ltan?))???116??2?R((H?L1tan??Ltan?)?R)(H?L1tan??Ltan?)?R?arcsin?2?2R??V倾斜(H)??22tan??R2R(H?Ltan??Ltan?)?(H?Ltan??Ltan?)?11????2????2?R(H?Ltan??Ltan?)1???4?3?1?22?(2R(H?Ltan?)?(H?Ltan?))???116??2?R((H?L1tan?)?R)(H?L1tan?)?R?arcsin?2?2R???22tan??R2R(H?Ltan?)?(H?Ltan?)?11????2????2?R(H?Ltan?)1???4?（5-12）
（2）纵向变位?时罐体两侧球冠部分的体积与高度的关系
16
H H Y Y L1 L 图20
Y左?H?L1tan? （5-13） Y右?H?L1tan??Ltan? （5-14） V左??V右??Y左?1.5?1.5Y右?1.5S水平(y)dy （5-15） S水平(y)dy （5-16）
?1.5可以发现，式（5-13）和式（5-14）与式（5-7）类似，仅仅式积分上下限不同。所以，可以分别计算出结果。
当罐体发生横向倾斜?时，
H 图21
H??Hcos??R(1?cos?) (5-17)
所以，只要用H?替换上式中的H即可。
17
终上所述，可以计算出罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度? ）之间的一般关系式（由于公式太长，此处没有给出，公式在附录1中给出）。
5.4 罐体变位后变位参数的确定
利用最小二乘算法进行参数估计，已知表达式V(H,?,?)，其中，参数H是已知的。由于显示的油量容积式在没有变位的情况下得到的。不具有准确性。所以我们采用附录表中给出的出油量对参数?，?进行估计。在任意给定一组有意义的参数?，?，则计算值和测量值的总偏差是
P(?,?)??(V(Hi,?,?)?V(Hi?1,?,?)??Vi?1)
i?1N2
其中?Vi是第i个统计的出油量，显然使计算值与实际测量值的总偏差P(?,?)最小的参数?，?就是实际的参数。即求出MinP(?,?)的?，?值。对于问题的求解我们运用了非线性最小二乘优化理论。选取附录表2中的前300组数据。运用MATLAB的优化工具箱。
在此问题中D?1 m，R?1.5 m，r?1.625 m。代入式（5-18）中，就可以得到此问题体的计算公式。将附表2给的数据导入MATLAB中，可以得到罐体变位后变位参数?和?的值。结果如下
??2.120
??0.010
5.5 罐体变位后油位高度间隔为10 cm的罐容表标定
由于倾斜的影响，我们取油位高度为20 cm至280 cm之间的值，并且高度的间隔为10 cm。将所取的高度，代入到所得公式中，可以计算出与高度相对应的罐体变位后的储油量。然后列出罐容表
表2 变位后罐容表 高度（cm） 储油量（L） 高度（cm） 储油量（L） 20 2170.1 160 35890.7 30 3642.2 170 38690.7 40 5368.6 180 41455.6 50 7306.5 190 44169.4 60 9424.5 200 46815.8 70 11696.6 210 49377.7 80 14100.5 220 51837.1 90 16615.8 230 54174.7 100 19224.1 240 56369.1
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110 120 130 140 150 21907.9 24650.5 27435.7 30247.8 33071.3 250 260 270 280 58396.4 60228.1 61827.8 63141.9 5.6 分析检验模型的正确性与方法的可靠性 我们选取了附件表2后300个数据，并运用公式计算出Hi?1对应的理论出油量与实际出油?V(Hi?1)?V(Hi)?V(Hi?1)，
量进行对照如附件中表 3所示，由相对误差率公式
??(?V(Hi)??i)?i
通过分析可得误差如下图所示。平均误差率为0.2%。
5.0000%4.0000%3.0000%2.0000%1.0000%0.0000%-1.0000%-2.0000%-3.0000%-4.0000%-5.0000P5522539556573590607624641658675692709726743760777图22误差率
六、模型的评价
6.1 模型的优点
（1）对储油罐内油液的体积和浮子测量高度的关系式进行了详细的推导，比较符合实际情况，得到的结果比较理想。
（2）在问题一的解决过程中，消除了储油罐有变位情况下的油液高度变化量波动的影响，并对公式进行了修正，使误差减小。
（3）运用非线性最小二乘法优化理论求出的变位参数与实际情况相符。
6.2 模型的缺点
（1）对于问题一的修正函数没有给出具体物理意义，缺少具体的理论根据。
（2）在分析的时候没有考虑由于操作原因产生的系统误差。
七、参考文献
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