武汉理工大学考试试题纸（ A 卷） 课程名称 线性代数A 题号 一 题分 15 专业班级全校各有关专业 七 八 九 十 总分 100 二 15 三 40 四 10 五 10 六 10 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、单项选择题（每题3分，共15分） 1、已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D=( ) A.-15 B.15 C.0 D.1 2、设A是m?n矩阵，B是n?m矩阵，则（ ） A．当m?n时，必有行列式AB?0；B．当m?n时，必有行列式AB?0 C．当m?n时，必有行列式AB?0；D．当m?n时，必有行列式AB?0 3、设?1,?2,?3为R3的一个基，则下列仍为R3的一个基的是（ ） A.?1??2??3,?2?2,??1??2??3 B. ?1??2,?2??3,?1??3 C. ?1??2,?2??3,2?1?2?3 D. ?1??3,?1??2,2?1??2??3 4、对非齐次方程组Am?nx?b，设R(A)?r，则( ) A.r?m时，方程组Ax?b有解； B. r?n时，方程组Ax?b有唯一解 C.m?n时，方程组Ax?b有唯一解； D. r?n时，方程组Ax?b有无穷多解 5、下列命题中不正确的是( ) A.合同矩阵的秩必相等 B.与对称矩阵合同的矩阵仍是对称阵 C.AAT与ATA都是二次型的矩阵 D.行列式大于零的矩阵是正定矩阵 二、填空题（每题3分，共15分） ?2??1??0???1?????????1、设?1??1?,?2??1?,?3??2?为R3的一个基，则???0?在该基下的坐标为 。 ?0??0??1??1????????? ?2?1?11???11?21?，则R(A)?_____． 2、设A???4?62?2???36?97??2223、若二次型f?x1?2x2?tx3?2x1x2?2x1x3?4x2x3为正定二次型，则t? 。 4、若?1?2?3?3,?4?2?1?2,则?1??3??4?1?2? 。 5、设A是n阶矩阵，A?2，A*是A的伴随矩阵．若A有特征值?，则?2A*?必有一?1个特征值是 ． 三、解答题。（每题8分，共40分） 101、求010?0001?0?????000?10?0?1?2?3? （8分） ?n0?1?2?3??n?123??001???? 。 （8分） 2、求矩阵方程AX?B，其中A??3?21,B?010?????1?1?1??100?????3、设?1?(1?k,1,1),?2?(1,1?k,1),?3?(1,1,1?k),及??(0,k,k2),试求：当k为何值时?可由?1,?2,?3线性表出，并且表示法唯一。（8分） ??211??的特征值和特征向量。4、求A??（8分） 020????413???5、设A为3阶矩阵，A? 1，求(2A)?1?5A?。（8分） 2
四、当a、b为何值时，线性方程组
?x1?x2?x3?x4?0?x?2x?2x?1?234 ??x?a?3x?2x?b??234???3x1?2x2?x3?ax4??1有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．（10分）
?200??200????， 五、设矩阵A与B相似，其中A??001,B?010?????01x??00?1?????①求x; ②求正交阵P，使得PTAP?B.（10分）
六、证明题。（每题5分，共10分）
1、设A是n阶矩阵，如果存在正整数k，使得Ak?O（O为n阶零矩阵）， 则矩阵A的特征
值全为0．
2、设向量组?1,?2,?,?r是齐次方程组AX?0的一个基础解系，向量?不是方程组AX?0的
解，求证：?,???1,?,???r线性无关。
武汉理工大学教务处
试题标准答案及评分标准用纸
课程名称：线性代数A （ A 卷） 一、选择题（每题3分，共15分） 1、A 2、B 3、B 4、A 5、D 二、填空题（每题3分，共15分）
1、1，1，-1 2、3 3、2 4、1 5、?4
三、解答题（每题8分，共40分）
100?0?100?01010?0?010?02001?0?001?03???????rn??1r1??2r2?...??nrn?????? 1．
??????000?1?000?1n?1?2?3??n0000?0n????i?i(8分)i?1?2.解：?123100??3?21010????123100?0?8?8?31???1?1?1001???0????0?3?4?101????123100???123100??????0113???10?113????88?08?180??(3分)?0?3?4?101??????00?118?381????120119??003?8?83??18?181??????0101??2?121?????01012?121??(5分) ?????001?13??88?1??????001?1388?1????1?2?3??n n???i?ii?15分）（
?3?8?1?123??1?? ??3?21????2?1?1?1????1???8?181?238??1??1?(6分) ???1???1?1??8?1 故X?A?1B??1??2?3??1?8?3?8??1?? （8分） 2??1???8??123001??123001?????(解法2)：3?21010?0?8?801?3?????1?1?1100??0?3?410?1??????12300?1??0110??8?0?3?410?9?1203??8?1??0101??2?3?001?1?8?1?1??8?1故X??1??2?3??1?8??1??1??3???08????1???0?11??1??8??1???0??2??1?????08??01110?830?11?81001?81101?2301?18230?1??3?(3分)?81??8?3?8??1?(6分)?2?1? ??8?3?8??1? （8分） 2??1???8?