??11??1?k110??111?kk21?kk2??????3．?11?k1k???0k?kk(1?k)???0k?kk(1?k)?，（4分）
2??00?3k?k2k?2k2?k3??00?k(k?3)k(1?2k?k2)??111?kk??????当k?0且k??3时?可由?1,?2,?3线性表出，并且表示法唯一。 （8分） 4．解:
??2?1?1?I?A?0??20?(??1)(??2)2 4?1??3解得特征值?1??1,?2??3?2。 ?1解齐次线性方程组(?E?A)X?0得基础解系为????1??0??1?
???故对应于???1的特征值为：c??c1??0?11?1?其中c1?0 ??c1??解齐次线性方程组(2E?A)X?0得基础解系为：
??1????1?44???1??,???2??3??0? ??0??1????????故对应于?2??3?2的特征值向量为：
??14(c2?c?3)c????2?2?c33??c2?其中c2,c3不全0。 ??c3????5．解：因为A?1?1|A|A*， 所以 |(2A)?1?5A*|?|12A?1?5|A|A?1|?|12A?1?52A?1| （3分）
（5分）
（7分）
（8分）
（2分）
（5分）
?|?2A?1|?(?2)3|A?1|??8|A|?1??8?2??16? （8分） 四、解： 将方程组的增广矩阵A用初等行变换化为阶梯矩阵：
110??1?11?01??0221??? A??1110?1221?? （3分） ??0?1a?3?2b??0a?10b?1??321a?1???0?000a?10??所以，⑴ 当a?1时，r?A??r?A??4，此时线性方程组有唯一解．
⑵ 当a?1，b??1时，r?A??2，r?A??3，此时线性方程组无解．
⑶ 当a?1，b??1时，r?A??r?A??2，此时线性方程组有无穷多组解． 此时，原线性方程组化为
??x1?x2?x3?x4?0?x2?2x3?2x4?1 因此，原线性方程组的通解为
??x1?x3?x4?1??x2??2x3?2x4?1?x 3?x3??x4?x4或者写为
??x1????1??1???1? ?x2?2???2??1???x??k1???k2????? 3??1??0??0??x??3??0????1????0??五、解：因A与B 相似，故有 2?1?(?1)?2?0?x
解得x?0.（2分）
A的特征根为?1??1,?2?1,?3?2.（3分） 解齐次线性方程组??E?A?X?0，得
（6分） （10分）
???0????0??1???*?1对应于?1??1的特征向量为P，将它单位化得P?11?2?.（5分） ????1??????1????2??????0????对应于?2?1的特征向量为P2*??1?，将它单位化得P2???1????????0??1?. （7分） ?2?1??2??1???对应于?3?2的特征向量为P3*?P3??0?. （9分）
?0???令P??P 3,P2,P1?，则P??P3,P2,P1?即为所求正交矩阵. （10分）
六．1、设?是矩阵A的特征值，α?0是矩阵A的属于?的特征向量，则有
Aα??α．
所以，Akα?Ak?1?Aα??Ak?1?α????kα ， （3分）
kk但是A?O，所以?α?0，但α?0，所以??0． （5分）
2、假设?,???1,?,???r线性有关，则存在不全为零的?0,?1,?,?r使得
?0???1(???1)???r(???r)?0，
于是?(?0??1????r)?=?1?1???r?r， （2分） 又由于?1,?2,?,?r的线性无关性知?(?0??1????r)?0，于是 （4分） ???1（?1?1???r?r），这与已知向量?不是方程组AX?0的解矛盾。（5分）
?0??1????r