戴氏教育簇桥校区 立体几何测试题 授课老师:唐老师
在Rt△ABC中,∵MD∥BC，∴MD=
122BC=。在等腰Rt△PAC中，DE=DCsin45°=， 224122BC=。在等腰Rt△PAC中，DE=DCsin45°=， 224在Rt△ABC中,∵MD∥BC，∴MD=
∴ME=MD2?DE2=
1110，即点M到PC的距离为 ?=42810。 418.解 （1）在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足。∵面A1EC⊥面AC1，∴EG⊥侧面AC1，取AC的中点F，连结BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC。∵面ABC⊥侧面AC1，∴BF⊥侧面AC1，得BF∥EG。由BF，EG确定一个平面，交侧面AC1于FG。∵BE∥侧面AC1，∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG。∵BE∥AA1，∴FG∥AA1。又△AA1C∽△FGC，且AF=FC，∴FG=
111AA1=BB1，即BE=BB1，故BE=EB1。 22211BB1=CC1，∴2211DB1=DC1=B1C1=A1B1。∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=60°，∠DA1B1=∠A1DB1=(180°-∠
22（2）分别延长CE、C1B1交于点D，连结A1D。∵EB1∥CC1，EB1=
DB1A1)=30°，∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=90°，即DA1⊥A1C1。∵CC1⊥平面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1⊥A1C1，∴∠CA1C1是所求二面角的平面角。∵CC1= AA1=A1B1=A1C1, ∠A1C1C=90°，∴∠CA1C1=45°，即所求二面角为45°。
19.解 （1）∵△ABC是正三角形，AF是BC边的中线， ∴AF⊥BC。
又D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥1BC。 2∴AF⊥DE，又AF∩DE=G， ∴A′G⊥DE，GF⊥DE， ∴DE⊥平面A′FG， 又DE平面BCED， ∴平面A′FG⊥平面BCED。
（2）∵A′G⊥DE，GF⊥DE，
∴∠A′GF是二面角A′—DE—B的平面角。 ∵平面A′GF∩平面BCED=AF，
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作A′H⊥AG于H ， ∴A′H⊥平面BCED。
假设A′E⊥BD，连EH并延长AD于Q，则EQ⊥AD。 ∵AG⊥DE，
∴H是正三角形ADE的重心，也是中心。 ∵AD=DE=AE=
a2，∴A′G=AG=3134a,HG=3AG=12a。 在Rt△A′HG中，cos∠A′GH=
HGA'G=13. ∵∠A′GF =π-∠A′GH, ∴cos∠A′GF= -13，∴∠A′GF=arcos(-13)， 即当∠A′GF=arcos(-
13)时，A′E⊥BD。 20.解 （1）由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°， 得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos60° =4+16-2×2×4×12=12。 ∴AB2=AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°， 即AD⊥BD。
在△PDB中，PD=3，PB=15，BD=12， ∴PB2=PD2+BD2，故得PD⊥BD。 又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD。 （2）∵BD⊥平面PAD，BD平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD。
作PE⊥AD于E，又PE平面PAD，∴PE⊥平面ABCD， ∴∠PDE是PD与底面BCD所成的角，∴∠PDE=60°， ∴PE=PDsin60°=3·
32=32。 作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BC，∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角。 又EF=BD=12，∴在Rt△PEF中，
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3tan∠PFE=PE3EF=223=4。
故二面角P—BC—A的大小为arctan
34。 21.解 （1）由已知，VN⊥平面ABC，N∈CD，AB平面ABC，
得VN⊥AB。又∵CD⊥AB，DC∩VN=N ∴AB⊥平面VNC。
又V、M、N、D都在VNC所在平面内，
所以，DM与VN必相交，且AB⊥DM，AB⊥CD， ∴∠MDC为二面角M—AB—C的平面角。 （2）由已知，∠MDC=∠CVN，
在△VNC与△DMC中，∠NCV=∠MCD，且∠VNC=90°， ∴∠DMC=∠VNC=90°，故有DM⊥VC。又AB⊥VC， ∴VC⊥平面AMB。
（3）由（1）、（2）得MD⊥AB，MD⊥VC，且D∈AB，M∈VC， ∴MD=h。又∵∠MDC=θ. ∴在Rt△MDC中，CM=h·tanθ。 ∴V1四面体MABC=V三棱锥C—ABM=3CM·S△ABM =
1113h·tanθ·2ah =6ah2tanθ 22.解 （1）∵D′—AE—B是直二面角， ∴平面D′AE⊥平面ABCE。
作D′O⊥AE于O，连 OB，则D′O⊥平面ABCE。 ∴∠D′BO是直线D′B与平面ABCE所成的角。 ∵D′A=D′E=a，且D′O⊥AE于O，∠AD′E=90° ∴O是AE的中点， AO=OE=D′O=
22a, ∠D′AE=∠BAO=45°。 8
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∴在△OAB中，OB=OA2?AB2?2?OA?ABcos45?
=(22a)2?(2·a)2?2?(22a)(2a)22=102a。 ∴在直角△D′OB中，tan∠D′BO=D'OOB=55。 （2）如图，连结BE， ∵∠AED=∠BEC=45°， ∴∠BEA=90°， 即BE⊥AE于E。 ∵D′O⊥平面ABCE， ∴D′O⊥BE， ∴BE⊥平面AD′E， ∴BE⊥AD′。
（3）四边形ABCE是直角梯形， ∴SABCE=
12（a+2a）·a=32a2。 ∵D′O是四棱锥的高且D′O=
22a, ∴VD′—ABCE=
13（22a）·（3232a2）=4a。 （4）作AK∥BC交CE的延长线于K， ∴∠D′AK是异面直线AD′与BC所成的角， ∵四边形ABCK是矩形， ∴AK=BC=EK=a。 连结OK，D′K, ∴OK=D′O=
22a, ∠D′OK=90°, ∴D′K=a, AK=AD′=D′K=a。 ∴△D′AK是正三角形，∴∠D′AK=60°， 即异面直线AD′与BC成60°
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