第 2 章 线性规划的图解法
1、解： x
2
6
A B 1
O 0 1 C3 6 x1
a.可行域为 OABC。
b.等值线为图中虚线所示。 c.由图可知，最优解为 B 点，最优解： x1 = 12
7 15
x2 = 69 7
， 7 。 2、解： a x2
1
0.6
0.1
O
0.1 0.6 x1
有唯一解 x1 = 0.2 函数值为 3.6 x2 = 0.6 b 无可行解 c 无界解 d 无可行解 e 无穷多解
最优目标函数值：
3、解：
a 标准形式：
max f = 3x1 + 2 x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 9 x1 + 2x2 + s1 = 30 3x1 + 2 x2 + s2 = 13 2 x1 + 2x2 + s3 = 9
x1 , x2 , s1 , s2 , s3 ≥
0
b 标准形式：
max f = ?4 x1 ? 6x3 ? 0s1 ? 0s2 3x1 ? x2 ? s1 =
6
x1 + 2x2 + s2 = 10 7 x1 ? 6 x2 = 4
20
x1 = 3 函数值为 92 f 有唯一解
8 3 x2 = 3
c 标准形式：
x1 , x2 , s1 , s2 ≥
0
' '
max f = ?x1 + 2x2 ? 2 x'' ? 0s ? 0s 2 1 2
'
''
? 3x1 + 5x2 ? 5x2 + s1 = 70
2 x ' ? 5x ' + 5x '' = 50
1
2
' 3x1 + 2 x' 2x2 ? s2 = 30 2 ?
2
''
x, x, x, s1 , s2 ≥ 0
4 、解：
标准形式： max z = 10 x1 + 5x2 + 0s1 + 0s2
3x1 + 4 x2 + s1 = 9 5x1 + 2 x2 + s2 = 8 x1 , x2 , s1 , s2 ≥ 0
' 1 ' 2
''2
s1 = 2, s2 = 0
5 、解：
标准形式： min f = 11x1 + 8x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3
10 x1 + 2x2 ? s1 = 20 3x1 + 3x2 ? s2 = 18
4 x1 + 9x2 ? s3 = 36
x1 , x2 , s1 , s2 , s3 ≥ 0
s1 = 0, s2 = 0, s3 = 13
6 、解： b 1 ≤ c1 ≤ 3 c 2 ≤ c2 ≤ 6 d x1 = 6 x2 = 4
e x1 ∈ [4,8] x2 = 16 ? 2x1 2
f 变化。原斜率从 ? 变为 ? 1
3
7、解：
模型：
max z = 500 x1 + 400 x2
2 x1 ≤ 300 3x2 ≤ 540 2 x1 + 2x2 ≤ 440 1.2 x1 +1.5x2 ≤ 300 x1 , x2 ≥ 0
a x1 = 150
x2 = 70 即目标函数最优值是 103000
额外利润 250
b 2，4 有剩余，分别是 330，15。均为松弛变量 c 50， 0 ，200， 0
d 在 [0,500]变化，最优解不变。 e 在 400 到正无穷变化，最优解不变。 f 不变
8 、解：
a 模型： min f = 8xa + 3xb
50xa + 100 xb ≤ 1200000 5xa + 4xb ≥ 60000 100 xb ≥ 300000
xa , xb ≥ 0
基金 a,b 分别为 4000，10000。 回报率：60000
b 模型变为： max z = 5xa + 4 xb
50xa + 100 xb ≤ 1200000 100 xb ≥ 300000
xa , xb ≥ 0
推导出： x1 = 18000 x2 = 3000
故基金 a 投资 90 万，基金 b 投资 30 万。
第 4 章 线性规划在工商管理中的应用
1、解：为了用最少的原材料得到 10 台锅炉，需要混合使用 14 种下料方案 方案 规格 2640 1770 1651 1440 合计 剩余 方案 规格 2640 1770 1651 1440 合计 剩余 1 2 0 0 0 5280 220 8 0 1 2 0 5072 428 2 1 1 0 0 4410 1090 9 0 1 1 1 4861 639 3 1 0 1 0 4291 1209 10 0 1 0 2 4650 850 4 1 0 0 1 4080 1420 11 0 0 3 0 4953 547 5 0 3 0 0 5310 190 12 0 0 2 1 4742 758 6 0 2 1 0 5191 309 13 0 0 1 2 4531 969 7 0 2 0 1 4980 520 14 0 0 0 3 4320 1180 设按 14 种方案下料的原材料的根数分别为 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9， x10，x11，x12，x13，x14，则可列出下面的数学模型： min f＝x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14 s．t． 2x1＋x2＋x3＋x4 ≥ 80
x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10 ≥ 350 x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋x12＋x13 ≥ 420 x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14 ≥ 10
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥ 0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x1＝40，x2＝0，x3＝0，x4＝0，x5＝116.667，x6＝0，x7＝0，x8＝0， x9＝0，x10＝0，x11＝140，x12＝0，x13＝0，x14＝3.333 最优值为 300。 2、解：从上午 11 时到下午 10 时分成 11 个班次，设 xi 表示第 i 班次安排的临时 工的人数，则可列出下面的数学模型：
min f＝16（x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11） s．t． x1＋1 ≥ 9
x1＋x2＋1 ≥ 9 x1＋x2＋x3＋2 ≥ 9 x1＋x2＋x3＋x4＋2 ≥ 3