个样本均值之比，可以联想到在第一章§3中学过的服从于F分布的F统计量。而既然方差分析实质上是在作假设检验，所以检验统计量就是上面的F?MSA（即F比），而拒绝MSe域则是W??F＞F1???fA,fe??。③根据在第一章§5中所讲的补充说明可知，对两个不同的显著性水平?1与?2,关于因子A所作的方差分析同样可能得出不同的判断结论：小水平上“显著”?大水平上仍“显著”，小水平上“不显著”?大水平上不一定“不显著”；大水平上“不显著”?小水平上仍“不显著”，大水平上“显著”?小水平上不一定“显著”。 ?1与?2 在显著性水平?1上的判断结论 在?1水平上因子A显著 在显著性水平?2上的判断结论 在?2水平上因子A显著 在?2水平上因子A不一定不显著 在?2水平上因子A不一定显著 在?2水平上因子A不显著 ?1＜?2 在?1水平上因子A不显著 在?1水平上因子A显著 ?1＞?2 在?1水平上因子A不显著 ④有的书将均方MSA与MSe分别记为VA与Ve。
1.2.5 两个平方和公式 ?总平方和公式：ST????yi?1j?1rmrmij?y?2T2； ???y?ni?1j?1rm2ij2?因子平方和公式：SA????yi?1j?1i?y?Ti2T2。 ???mni?1r【注】我们在第一章第三节中学过的离差平方和公式
??x?x?ii?1n2T2也许大家还??xi?ni?1n2rmrT2Ti2T22记得。而ST????yij?y????y?和SA????yi?y???这两?nmni?1j?1i?1j?1i?1j?1i?1rm2rm2ijT2个平方和公式都源于上述离差平方和公式：①ST????yij?y????y?与公式
ni?1j?1i?1j?1rm2rm2ij??x?x?ii?1n2T2??xi?其实是一回事儿（都是数据的平方和与数据总和的平方除以n之
ni?1n2差）；②根据公式
??x?x?ii?1n2rmrmT2T222,应有SA????yi?y????yi? ??xi?nni?1i?1j?1i?1j?1n2 6
rTiTi2T2T2Ti2?Ti?22，而由yi?，可得myi?m???，于是SA??。 ??myi??mnnm?m?i?1i?1mr2
1.2.6 方差分析的一般步骤
1.2.6.1 计算因子A每一水平下的数据和及总和 ?由公式Ti??yj?1rmmij（即Ti?yi1?yi2???yim）计算因子A各水平下的数据和；
r?由公式T?
??yi?1j?1ij??Ti（即T?T1?T2???Tr）计算数据的总和。
i?11.2.6.2 计算各类数据的平方和 ?计算数据的平方和
??yi?1j?1rm2ij；
?计算各水平下数据和的平方和
?Ti?1ri2；
?计算数据总和的平方T。
21.2.6.3 依次计算各离差平方和ST，SA，Se
T2?由公式ST???y?计算总平方和；
ni?1j?1rm2ijTi2T21r2T2?由公式SA??计算因子平方和； ???Ti?nmi?1ni?1mr?由公式Se?ST?SA计算误差平方和。
1.2.6.4 计算各均方及F比并列出方差分析表 ?由公式MSA?SeSA与MSe?分别计算SA与Se的均方；
fefA?由公式F?MSA计算F比； MSe?在此基础上列出如下的方差分析表：
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来源 因子A 误差e 总计T
平方和 自由度 均方 F比 SA fA?r?1 MSA?SAfA F?MSAMSe Se ST fe?n?r MSe?Sefe fT?n?1 1.2.6.5 作出结论
?对于给定的显著性水平?，将求得的F比与分位数F1???fA,fe?比较（由教材后附表1-6所给的F分布表可查得F1???fA,fe?），当F＞F1???fA,fe?时认为因子A显著，否则认为因子A不显著。
?当因子A显著时，还可以给出每一水平下指标均值的估计，以便找出最好的水平。在单?i?yi（i?1,2,?,r）因子试验的场合，Ai水平指标均值的估计为：?。
?我们知道，即使在同一水平下（即同一总体内）指标数据也是有波动的。如果这种波动用
方差（或标准差）度量，则通过数据分析还可以给出误差方差（或误差标准差）的估计：?2?MSe（或???MSe）?。
1.2.7 对【例2.1-1】的数据进行分析
①计算各类数据和：
各水平下的数据和分别为T1?412，T2?444，T3?344；数据总和为T?1200。 ②计算各类数据的平方和： 原始数据的平方和为
??yi?1j?1rm2ij2，各水平下数据和的平方和?Ti?485216。 ?121492i?1r③计算各离差平方和及其自由度：
1200248521612002ST?121492??1492，fT?12?1?11；SA???1304，
12412fA?3?1?2；Se?1492?1304?188，fe?12?3?9。
④计算各均方及F比并列出方差分析表：
SA的均方为MSA?F?1304188?652，Se的均方为MSe??20.9，F比为29652?31.21，列出方差分析表： 20.9 8
来源 因子A 误差e 总计T ⑤得出结论： 平方和 自由度 均方 F比 SA?1304 fA?2 fe?9 fT?11 MSA?652 MSe?20.9 F?31.21 Se?188 ST?1492 ?若给定显著性水平??0.05，则1???0.95，由F分布表可查得F0.95?2,9??4.26，因
F?31.21＞4.26，所以在??0.05水平上可得结论因子A显著（若选??0.01，则
1???0.99，由F分布表可查得F0.99?2,9??8.02，因F?31.21＞8.02，所以在??0.01水平上A也是显著的）。这表明不同的工厂生产的零件平均强度有显著差异。
?由于因子A显著，我们可以给出每一水平下指标值的估计，3个工厂生产的零件的平均强
?1?y1?103，??2?y2?111，??3?y3?86。从直观上看，乙厂生产度的估计分别为：?的零件的强度均值最大，而丙厂生产的零件的强度均值最小。如果我们需要强度大的零件，
那么在其他条件基本相同的情况下，购买乙厂的为好。
??MSe?20.9与????误差方差与误差标准差的估计分别为?
2MSe?20.9?4.57。
1.2.8 原始数据未给出时的方差分析方法
如果没有给出各个原始数据yij，而仅给出了各水平下的试验次数m、数据均值yi与标准差
si（i?1,2,?,r），这种情况下我们如何作方差分析呢？
其实对这个问题只要将前面的公式稍作变化就可以解决（这里要应用在第一章中学到的一
些知识）。
1.2.8.1 求数据的总和T
因Ai水平下的数据均值yi已知，由各水平下数据和公式Ti?myi即可求出数据的总和
T??Ti??myi，即T?m?yi。
i?1i?1i?1rrr【注】我们在第一章第三节中学过的求数据和的公式
?xi?1ni?nx（其中n为样本量，x为样
本均值），上述公式Ti?myi（即
?yj?1mij。 ?myi）即由此而得（m相当于n，yi相当于x）
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1.2.8.2 求因子平方和SA
Ti2T2将上面已知的结果Ti?myi及T?m?yi代入公式SA??并注意到n?rm，即?ni?1i?1mrr可求出因子平方和SA??i?1r?myi?2?T2mT2，即SA?m?y?，或写为如下形式：rmrmi?1r2i?r??m?yi?2r?r21?r??i?1??2，整理即得SA?m??yi??yi??。 SA?m?yi????r?i?1??rm?i?1?i?1?【注】注意，因子平方和SA的另一个公式SA?nnn22?m?yi?y??m??yi?y?，由离差平
22i?1i?1rrr2rr?1???1??2222方和公式??xi?x???xi???xi?可得m???yi?y??m??yi???yi??，
r?i?1??n?i?1?i?1i?1i?1??i?1??r21?r?2?即SA?m??yi???yi??，与上述结果相同。
r?i?1????i?1?
1.2.8.3 求误差平方和Se
又因Ai水平下的标准差si已知，由前面学过的离差平方和公式
m??x?x???n?1?si2i?1n2可知，
在Ai水平下，
rm22，从而将此结果代入误差平方和公式便可求出????y?y?m?1sijii?j?1Se????yij?yi????m?1?s，即Se??m?1??si2。
22ii?1j?1i?1i?1rr【注】学习了上面的内容，大家现在应该对我在前面第一章第三节中反复强调的离差平方和几个公式的重要性深有体会了吧？！实际上，知道了来龙去脉，一旦这些公式中的某个忘记了，想一想它们与前面几个公式的联系，也许会轻易地推导出来。
1.2.8.4 相关例题
【例2.1-2】 为测定一个大型化工厂对周围环境的污染,选了4个观察点A1,A2,A3,A4,在每一观察点上各测定4次空气中SO2的含量,现得到每一观察点上4次观察的平均值yi及4次观察的样本标准差si（i?1,2,3,4），数据见下表：
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