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个性化教学辅导教案
学科：数学 任课教师：叶雷 授课时间：2011 年 月 日(星期 ) : ~ : 姓名 阳丰泽 年级 高三 性别 男 教学课题 平面向量的概念及运算 （1）平面向量的实际背景及基本概念； （2）向量的线性运算： ①掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；②掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 （3）平面向量的基本定理及坐标表示： ①了解平面向量的基本定理及其意义；②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 重点 难点 课前检查 教学 目标 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________ 第 讲 平面向量的概念及运算 知识点一：向量的概念 1.向量 既有大小又有方向的量。向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，??????????????如：AB几何表示法AB，a；坐标表示法a?xi?yj?(x,y)。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|?即向量的大小，记作｜a|。 ???向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 ?????2.零向量 长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a＝0?｜a｜＝0。由??于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） 3.单位向量 模为1个单位长度的向量，向量a0为单位向量?｜a0｜＝1。 4.平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为??平行向量，记作a∥b。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 ??5.相等向量 长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为a?b。大小相等，方向相???x1?x2同?(x1,y1)?(x2,y2)??。 y?y2?1
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知识点二：向量的运算 1.向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法。 ?????????????????????????????设AB?a,BC?b，则a+b=AB?BC=AC。规定：（1）0?a?a?0?a； 向量加法满足交换律与结合律：向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。 ????????????????????????向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB?BC?CD???PQ?QR?AR，但这时必须“首尾相连”。 2.向量的减法 ??（1）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。 ???记作?a,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：（i）?(?a)=a； ?????????????? (ii) a+(?a)=(?a)+a=0；(iii)若a、b是互为相反向量，则a=?b,b=?a,a+b=0。 ????（2）向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差， ????记作：a?b?a?(?b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 ??????（3）作图法：a?b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）。 3.实数与向量的积 ??（1）实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）?a???a； ???????a?0，（Ⅱ）当??0时，λa的方向与a的方向相同；当??0时，λa的方向与a的方向相反；当??0时，??方向是任意的。 （2）数乘向量满足交换律、结合律与分配律。 ????（3）两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线?有且只有一个实数?，使得b=?a。 ???（4）平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有?????a??1e1??2e2其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。且只有一对实数?1,?2使： 4.平面向量的坐标表示 ??1.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底由平面?????向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a?xi?yj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把???(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。 2
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规定：（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量； （2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。 2.平面向量的坐标运算： ????①若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?； ????②若A?x1,y1?,B?x2,y2?，则AB??x2?x1,y2?y1?； ??③若a=(x,y)，则?a=(?x, ?y)； ??????④若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a//b?x1y2?x2y1?0;a?b?x1x2?y1y2?0. 题型1：平面向量的概念 【例1】（1）给出下列命题： ????①若|a|＝|b|，则a=b； ????????②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB?DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ??????③若a=b，b=c，则a=c； ??????④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b； ??????⑤ 若a//b，b//c，则a//c；其中正确的序号是 。 ??????a0;②a0； （2）设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a=|a|·若a与a0平行，则a=|a|·???（3）若a与a0平行且|a|=1，则a=a0。上述命题中，假命题个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 点评：(1)本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。 (2)向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。 题型2：平面向量的运算法则 ????????????????【例2】（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若BA=a，BC=b，试用a，b将向量OE，????????????BF，BD， FD表示出来。 AaBbCDOEF（2）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ） ???????????????A．AB＝DC B．AD＋AB＝AC ???????????????? C．AB－AD＝BD D．AD＋CB＝0 （3）如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD?（ ） A．?BC?12BA B．?BC?12BA 3
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C．BC?12BA D．BC?12BA ??点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 a，b表示，且可用规定????其中任两个向量为a，b，另外任取两点为起点和终点，也可用a，b表示。 【例3】设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简： ????????????????????????????????????????①AB?BC?CD，②DB?AC?BD，③?OA?OC?OB?CO。 ????????1?【例4】设x为未知向量，a、b为已知向量，解方程2x?(5a+3x?4b)+ a?3b=0 2 点评：平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量的性质。 题型3：平面向量的坐标及运算 ????【例5】已知?ABC中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC边上的高为AD，求AD。 【例6】已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线AC和OB（O为坐标原点）交点P的坐标。 4
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题型4：平面向量的性质 ???【例7】平面内给定三个向量a??3,2?,b???1,2?,c??4,1?，回答下列问题： ???（1）求满足a?mb?nc的实数m,n； ????（2）若?a?kc?//2b?a，求实数k； ?????????（3）若d满足d?c//a?b，且d?c??????5，求d。 【例8】已知a?(1,0),b?(2,1). （1）求|a?3b|；（2）当k为何实数时，ka?b与a?3b平行， 平行时它们是同向还是反向？ 点评：上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。 题型5：共线向量定理及平面向量基本定理 【例9】平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（－1，3），若点C满足OC??OA??OB，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（ ） A．3x+2y－11=0 B．（x－1）2+（y－2）2=5 C．2x－y=0 D．x+2y－5=0 点评：熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算；两个向量平行的坐标表示；运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。 【例10】（1）已知︱OA︱=1，︱OB︱=OC=mOA+nOB(m、n∈R)，则3,OA?OB=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设????????mn等于（ ） 33A．13 B．3 C． D．3 M O 图 B （2）如图，OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OP?xOA?yOBA ，则实数对（x,y）可以是（ ） 5