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A．(14,34) B. (?23,23) C. (?144,3) D. (?17,)55 题型6：平面向量综合问题 【例11】已知向量u?(x,y)与v?(y,2y?x)的对应关系用v?f(u)表示。 ??????（1）证明：对于任意向量a,b及常数m，n恒有f(ma?nb)?mf(a)?nf(b)成立； ????（2）设a?(1,1),b?(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标； ??????（3）求使f(c)?(p,q)，（p，q为常数）的向量c的坐标 ????【例12】求证：起点相同的三个非零向量a，b，3a－2b的终点在同一条直线上。 点评：（1）利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：① 证明向量平行；② 说明两个向量有公共点； (2)用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：①证明向量平行；②说明两向量无公共点。 课后反思： 课堂检测 课后巩固 签字 听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________. 测试题(累计不超过20分钟)_______道；成绩_______； 教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□ 作业_____题; 巩固复习____________________ ; 预习布置_____________________ 教学组长签字： 学习管理师: 老师 老师最欣赏的地方： 6
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课后 老师想知道的事情： 赏识 老师的建议： 评价 （教案）《平面向量的概念及运算》参考答案
【例1】解析：（1）①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；
????????????????????????②正确；∵ AB?DC，∴ |AB|?|DC|且AB//DC，
又 A，B，C，D是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为
????????????????????????平行四边形，则，AB//DC且|AB|?|DC|，因此，AB?DC。
????????③正确；∵ a=b，∴ a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴ b，c的长度相等且方向
????相同，∴ a，c的长度相等且方向相同，故a＝c。
???????????? ④不正确；当a//b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故|a|=|b|且a//b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件；
?? ⑤不正确；考虑b=0这种特殊情况；综上所述，正确命题的序号是②③。
（2）向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若a与a0平行，则a与a0方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时a=－|a|a0，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。
??【例2】（1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量a，b来
表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。
因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，
????????????????????????????????????所以BA?BC?BA?AO?BO，BO=a＋b，OE= BO=a+b， 由于A，B，O，F
????????四点也构成平行四边形ABOF，所以BF=BO＋
?????????????????????????????????????OF=BO+BA=a+b+a=2a+b，同样在平行四边形 BCDO中，BD＝BC?CD＝BC?BO＝???????????????????b＋(a＋b)＝a＋2b，FD＝BC?BA＝b－a。
（2）C．
（3）CD?CB?BD??BC?BA，故选A。 2????????????????????????3】解析：①原式= (AB?BC)?CD?AC?CD?AD；
1【例
?????????????????????②原式= (DB?BD)?AC?0?AC?AC；
?????????????????????????????????????③原式= (OB?OA)?(?OC?CO)?AB?(OC?CO)?AB?0?AB。
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【例4】解析：原方程可化为：(2x ? 3x) + (?5a+【例
????1?9?) + (4?3) = 0，∴ =+ bbb。axa?22????????????5】解析：设D(x,y)，则AD??x?2,y?1?,BD??x?3,y?2?,BC???b,?3?，
?????????????????????????6?x?2??3?y?1??0?x?1∵AD?BC,BD?BC，??，得? ，所以AD???1,2?。
?????3x?3?6y?2?0y?1??????????【例6】解析：设P(x,y)，则OP?(x,y),AP?(x?4,y)
因为P是AC与OB的交点，所以P在直线AC上，也在直线OB上。
????????????????????????即得OP//OB,AP//AC，由点A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，AC?(?2,6),OB?(4,4)。
?x?3?6(x?4)?2y?0得方程组?，解之得?。故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3)。
y?3??4x?4y?05?m????m?4n?39。 【例7】解析：（1）由题意得?3,2??m??1,2??n?4,1?，所以?，得?8?2m?n?2?n?9?????16（2）a?kc??3?4k,2?k?,2b?a???5,2?，?2??3?4k????5??2?k??0,?k??；
13????（3）d?c??x?4,y?1?,a?b??2,4?
?x?5?4?x?4??2?y?1??0?x?3由题意得?，得或。 ??22??x?4???y?1??5?y??1?y?3??????【例8】解析：（1）因为a?(1,0),b?(2,1).所以a?3b?(7,3)，则|a?3b|?72?32?58
????（2）ka?b?(k?2,?1)，a?3b?(7,3)，
??1??因为ka?b与a?3b平行，所以3(k?2)?7?0即得k??。
3?????7???此时ka?b?(k?2,?1)?(?,?1)，a?3b?(7,3)，则a?3b??3(ka?b)，即此时向量
3????a?3b与ka?b方向相反。
????????????【例9】解法一：设C?x,y?，则OC??x,y?,OA??3,1?,OB???1,3?。
????????????由OC??OA??OB得?x,y???3?,??????,3????3???,??3??，
?x?3????x?4??1?于是?y???3?，先消去?，由??1??得?。再消去?得x?2y?5?0，所
y?3?2???????1?以选取D。
????????????解法二：由平面向量共线定理，当OC??OA??OB，????1时，A、B、C共线。
因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得x?2y?5?0即选D。
【例10】解析：（1）B；（2）C。
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????【例11】解析：（1）设a?(a1,a2),b?(b1,b2)，则ma?nb?(ma1?nb1,ma2?nb2)，
??故f(ma?nb)?(ma2?nb2,2ma2?2nb2?ma1?nb1)?m(a2,2a2?a1)?n(b2,2b2?b1)，????∴f(ma?nb)?mf(a)?nf(b)。
??（2）由已知得f(a)=（1，1），f(b)=（0，－1）
???（3）设c=（x，y），则f(c)?(y,2y?x)?(p,q)，∴y=p，x=2p－q，即c=（2P－q，p）。 ????????????????【例12】证明：设起点为O，OA＝a，OB=b，OC＝3a－2b，
????????????????????????????????????则AC?OC?OA=2(a－b)，AB?OB?OA=b－a，AC??2AB，
????????????∵ AC,AB共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，即向量a，b，3a－2b的终点在
同一直线上．
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