2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上） （1） ??? 1?【解】 当Q?1时,有K?A?L?, 于是K关于L的弹性为
??1???LK'(L)?????1?ALK(L)?L?1????A?L??. （2） 1.2Wt?1?2
【解】Wt?(1?0.2)Wt?1?2?1.2Wt?1?2 （3） -3
【解】方法1：由题设r(A)?3,知必有
k111A?1k1111k1?(k?3)(k?1)3?0, 111k解得 k?1或k??3.显然k?1时r(A)?1,不符合题意,因此一定有k??3.
方法2：初等变换.不改变矩阵的秩，对A作初等变换有
??k111??111??k?31A??1k11??kk?100??10k?1??11k1?1?k????10k?10????0?111k??k???1?k00k?1????00k?1?000故知k??3时，r(A)?3.
（4）
112 【解】 另Z?X?Y, 则
E(Z)?E(X)?E(Y)?0,
D(Z)?D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)
?1?4?2?0.5?D(X)D(Y)?3,
1
1?0?0??k?1??
于是有
P?X-Y?6??P?Z-E(Z)?6??D(Z)1?. 2612
（5） F (10,5)
【解】 因为Xi?N(0,22)i?1,2,?,15.于是
22Xi?N(0,1),从而有 222?X10??X15??X1??X11?22?????(10),?????????????(5),
?2??2??2??2?而且由样本的独立性可知，
2222?X10??X15??X1??X11?22与?????(10)?????(5)相互独立. ?????????2??2??2??2?故
2??X1?2?X10???????????/102222???X1???X10?????Y???F(10,5). 2222??2?X11???X15??X15??X11??????????/5?2?????2??故Y服从第一个自由度为10，第二个自由度为5 的F分布.
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.） （1）（B）
【解】方法1：由limf'(x)??1,知limf'(x)?0,即f?(a)?0,于是有
x?ax?ax?af'(x)?f'(a)f'(x)f\a)?lim?lim??1,
x?ax?ax?ax?a即f?(a)?0 ,f??(a)??1?0,故x?a是f(x)的极大值点, 因此,正确选项为(B).
方法2：由limx?af'(x)??1,；及保号性定理知，存在x?a的去心邻域，在此去心邻域x?a内
f'(x)?0.于是推知，在此去心邻域内当x?a时f?(x)?0；当x?a时f?(x)?0.又由x?a条件知f(x)在x?a处连续，由判定极值的第一充分条件知，f(a)为f(x)的极大值. 因此，选 (B).
（2） (D)
2
【解】 当0?x?1时,有 g(x)?12131(x?1)dx?x?x, ?0262x1x12122当1?x?2时,有g(x)??(x?1)dx??(x?1)dx???x?1?,
021336x?131x?x,??62即 g(x)???2?1?x?1?2,??36显然g(x)在区间[0,2]内连续, 所以,应选 (D).
0?x?1
1?x?2
（3） （C）
3列互换，再1、4列互换，可得B，根据初等阵的性质，有 【解】将A的2、B?AP2P1
?1?1两边求逆，且P?P,P?P2，得B112?1?1?1?1??AP2P?P?PP1?1P2A12A.
?1故应选（C）.
（4） (D)
【解】 由题设，显然有秩??A??T???A?n?n?1,秩 即系数矩阵(A)???T0??????非列
0?满秩，因此齐次线性方程组?故正确选项为（D）.
（5） (A)
?AT?????X?????0必有非零解. 0??y?【解】设X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则有Y=n?X,因此X和Y 的 相关系数为r = ?1.
三 、（本题满分8 分）
【解】 根据复合函数求导公式,有
du?f?fdy?fdz?????dx?x?ydx?zdx由e?xy?2两边对x求导,得
xy(?)
exy(y?xdydy)?(y?x)?0, dxdx3
即
dyy??. dxxx?zsintxdt,两边对x求导,得 由e??0tsin(x?z)dzex??(1?),
x?zdxdzex(x?z)即 ?1?.
dxsin(x?z)将其代入(*)式,得
du?fy?f?ex(x?z)??f????1??. dx?xx?y?sin(x?z)??z四 、（本题满分8 分）
2cxx?c?x?cx2c【解】因为lim()?lim?(1?)x??x?cx??x?c?又由拉格朗日中值定理,有
x?c2c????e2c.
f(x)?f(x?1)?f'(?)?(x?(x?1))?f'(?),
于是?介于x?1与x之间,于是
lim[f(x)?f(x?1)]?limf'(?)?e
x??x??从而e2c?e故c?1. 2
五 、（本题满分8 分） 【解】 积分区域如图所示
??y[1?xeD122(x?y)2]dxdy???ydxdy???xyeDD122(x?y)2dxdy,
其中
1112ydxdy?dyydx?y(1?y)dy??; ??????1y?13D??xyeD122(x?y)2dxdy??ydy?xe?1y11122(x?y)2dx??y(e?111(1?y2)2?ey)dy?0
2 4
于是
??y[1?xeD122(x?y)22]dxdy??
3
六、（本题满分9 分）
【解】方法1：题中抛物线y?px2?qx与x轴交点的横坐标为：x1?0,x2??面积S为
q. pS??q?p0q??p3q2?2px?qxdx?x?x?p. ???32??0因直线x?y?5与抛物线y?px2?qx相切，故它们有惟一公共点.
?x?y?5由方程组 ? 2?y?px?qx得y?px2?(q?1)x?5?0,其判别式必为零，即
??(q?1)2?20p?0,p??1(q?1)2. 20200q3将p 代入S 中，得 S(q)?. 43(q?1)200q3(3?q)令 S'(q)?令0.
3(q?1)5得驻点q?3.当1?q?3时，S'(x)?0; q?3时，S'(x)?0;当q?3时，S(q)取极大值，即最大值. 此时p??4225,从而最大值为S?. 5322方法2：题中抛物线y?px?qx与x轴交点的横坐标为：x1?0,x2??q. p面积S为
S???qp0q?q3?p3q2?2x?x?p?2. ?px?qx?dx??32?6p?02以下由题设条件y?px?qx与直线x?y?5推出p与q的关系.
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