设抛物线y?px2?qx与直线x?y?5相切的切点坐标为(x0,y0)，于是有
2y0?px0?qx0
x0?y0?5 y?x?x0?2px0?q??1
由第2式解出y0?5?x0，第3式解出x0??p??1(q?1)2（以下方法同方法1） 20q?1，代入第1式化简得 2p
七、（本题满分9 分）
【解】由f(1)?k使得
1k0??1?xe1?xf(x)dx,(k?1).及积分中值定理, 知至少存在一点???0,?,
?k?1k0f(1)?k?xe1?xf(x)dx??1e1??f'(?1)
即 f(1)e?1??1e??1f(?1).
令F(x)?xe?xf(x).那么,F(x)在??1,1?上连续,在??1,1?内可导,且F(?1)?F(1) 由罗尔中值定理知,至少存在一点????1,1??(0,1),使得
F?(?)?e??f(?)??e??f?(?)?0,
即f'(?) ? (1??)f(?).
?1八、（本题满分7分）
【解】由已知条件可见fn'(x)?fn(x)?xn?1ex,这是以fn(x)为未知函数的一阶线性非齐次微分方程，其通解为
n?dx??n?1x??dxx?x?fn(x)?e??xeedx?C??e??C?,
???n?exnex,从而 由条件fn(1)?,得C?0, 故fn(x)?nn?xnexxnxfn(x)???e??nn?1n?1n?1n??
6
xn记s(x)??,其收敛域为(-1,1)，当x∈(-1,1) 时，可以逐项求导：
n?1n??xn???n?11S'(x)??????x?,
n1?xn?1??n?1?故
S(x)???1dt??ln(1?x). 01?txxn即有 ???ln(1?x),n?1nx?(?1,1)
而在x??1处，右边函数连续，左边级数在此点收敛，因此成立的范围可扩大到x??1处， 即
xn??ln(1?x),?nn?1?x?[?1,1)
于是，当?1?x?1时，有
?fi?1?n(x)??exln(1?x).
九、（本题满分13 分）
【解】(1) 对线性方程组AX??AX??的增广矩阵作行初等变换,有.
1a?1??11a?1??1???0a?1?
A??1a1?11?a?0?????0(a?1)(a?2)?a?2??a11??2????0?因为方程组AX??有解但不唯一,所以r(A)?r(A)?3 3,故a??2.
1?2??1??(2) 由(1),有 A?1?21 ???1???21?A的特征多项式 ?E?A??(??3)(??3).
故A的特征值为?1?3,?2??3,?3?0. 对应的特征向量依次为
?1?(1,0,-1)T,?2?(1,-2,1)T,?3?(1,1,1)T.
由于他们是三个不同特征值的特征向量,因此相互正交,将?1,?2,?3单位化,得
7
?1?(令
11T121T111T,0,?),?2?(,?,),?3?(,,). 22666333?1??2?Q??0??1??2??300???T?1则有 QAQ?QAQ?0?30.
????000??162?6161??3?1?, 3??1?3??
十、（本题满分13 分）
【解】（1）二次型f(x1,x2,?xn)的矩阵形式为
?A11?1?A21f(X)?(x1,x2,?xn)A????A1n因秩(A)=n，A可逆，且A?1A12A22?A2nAn1??x1??x??An2???2? ?????????Ann??xn???1*A. A又因为A????A??1TT?1?1?A?1,可见A?1也是实对称矩阵，因此二次型f(x1,x2,?xn)的对称
矩阵形式为A.
（2）方法1：因为A???1TAA?1??AT?E?A?1所以A 与A?1合同，于是
?1g(X)?XTAX与f(X)有相同的规范形.
T?1方法2：对f(X)?XAX作坐标变换（可逆线性变换X?AY），则有
f(X)?XTA?1X令X?AY(AYT)A?1AY
?YTATY?YTAY?g(Y)
坐标变换（可逆线性变换）不改变二次型的正、负惯性指数，故f和g有相同的规范形.
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十一、（本题满分13 分）
【解】 设Xi(i?1,2,?n)是装运的第ii箱的重量(单位:千克), n是所求箱数.由题设可以将X1,Xi,?Xn视为独立同分布的随机变量,而n箱的总重量
Sn?X1?X2???Xn是独立同分布随机变量之和.
由题设,有E(Xi)?50,D(Xi)?5;E(Sn)?50n,D(Sn)?5n(单位:千克) 根据列维—林德柏格中心极限定理,知Sn近似服从正泰分布N(50n,25n)而箱数n根 据下述条件确定
?S?50n5000?50n?P?Sn?5000??P?n??
5n??5n1000?10n??()?0.977??(2)
n由此得
1000?10n?2, n从而n?98.0199, 即最多可以装98箱.
十二、（本题满分8 分）
【解】 由题设条件知，X和Y的联合密度为
?1?,1?x?3,1?y?3, f(x,y)??4??0,其他以F(u)?P?U?u??Px?y?u.(??,??)表示随机变量U 的分布函数.显然，
当u?0时，F(u)= 0; 当u?2时，F(u)?1. 当0?u?2时,则
??F(u)?x?y?u??f(x,y)dxdy?11122?? dxdy?4?(2?u)?1?(2?u)????244x?y?u于是随机变量U的概率密度为
?1?(2?u),0?u?2, p(u)?F'(u)??2??0, 其他 9