河南省示范性高中罗山高中2009届高三5月综合测试
数学试题（理）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 如果集合M?{x|x2?3x?2?0},N?{x|x?1|?2}，那么（ ）
A. M?N?N B. M?NùM C. M?N?N D. M?N?M 2. 实数x，y满足(1?i)x?(1?i)y?2是xy的值是（ ） A. 1 B. 2 C. －2 D. －1 3. 函数y?2sin(2x?)的单调增区间为（k?z） 6?5?5 A. [k??,k???] B. [k??,k???]
3666??5 C. [k??,k??] D. [k???,k???]
3664. 函数y?(x?1)2?3(x?1)的反函数是（ ）
A. y?1?x?3(x??3) B. y?1?x?3(x?0) C. y?1?x?3(x??3) D. y?1?x?3(x?0) 5. 对于直线 和平面?,?，下列命题中，真命题是（ ） A. 若∥?且∥?，则?∥? B. 若 ??且???，则??? C. 若???，且???，则?∥? D. 若???，且?∥?，则∥? 6. 直线y?k(x?1)与圆x?y?4的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与k的取值有关
7. 正四棱锥P－ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为26，则此球的表面积为（ ） A. 18? B. 36? C. 72? D. 9? 8. 等差数列{an}中，Sn是其前n项和， A. 2 B. 1 C.
22??????S2008S2006S??2，则limn的值为（ ） 2n??20082006n1 D. 3 29. 从5名学生中选出4名学生参加百米、跳高、篮球比赛，每人只能参加一项，并且篮球有两人参加，则不同的选派方式有（ ）
A. 40 B. 60 C. 100 D. 120
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????????????????10. 在同一平面内，已知OA?(cos?,sin?),OB?(cos?,sin?)，且OA?OB?0. 若
??????????/OA?(cos?,2sin?),OB/?(cos?,2sin?)，则△A/OB/的面积等于（ ）
A.
11 B. C. 1 D. 2 42x2y2211. 设斜率为的直线与椭圆2?2?1(a?b?0)交
ab2?于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是
椭圆的两个焦点，
则该椭圆的离心率为（ ） A. 1123 B. C. D.
232312. 如果关于x的方程ax?1?3有且仅有一个正实数解，那么实数a的取值范围为（ ） 2x A. {a|a?0} B. {a|a?0或a?2} C. {a|a?0} D. {a|a?0若a??2}
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、非选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. 13. 已知二项式(x?27)的展开式的第4项第5项之和为零，那么x等于 。 x 3x?4y?12?0
22214. 设命题p： 2x?y?8?0 命题q:x?y?r(,x?y，,R?r0)若命题?q是
x?2y?6?0
命题?p的充分非必要条件，则r 的最大值为 .
15. 已知圆O:x?y?8，点A（2，0），动点M在圆上，则∠OMA的最大值为 。
16. 如图所示，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△AED是△ AED绕边DE旋转过程中的一个图形，现给出下 列四个命题：
1动点A在平面ABC上的射影在线段AF上； ○
/
/
222恒有平面AGF⊥平面BCED； ○
/
3三棱锥A-FED的体积有最大值； ○
/
4异面直线AE与BD不可能垂直. ○
/
其中正确命题的序号是 .
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三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17. （本题满分10分）已知函数f(x)?[2sin(x??3)?sinx]cosx?3sin2x.
（1）若函数y?f(x)的图像关于直线x?a(a?0)对称，求a的最小值； （2）若存在x0?[0,5?]，使mf(x0)?2?0成立，求实数m 的取值范围. 12
18. （本题满分12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比实验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为
21，服用B有效的概率为. 32 （1）求一个试验组为甲类组的概率； （2）观察3个试验组，用?表示这3个试验组 中甲类组的个数，求?的分布列和数学期望.
19. （本题满分12分）如图1所示，在正三棱 柱ABC－A1B1C1中，BB1＝BC＝2，且M是BC的 中点，点N在CC1上.
（1）试确定点N的位置，使 AB1⊥MN；
（2）当AB1⊥MN时，求二面角 M－AB1－N的大小.
20. （本题满分12分）若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：f(x)?kx?b和g(x)?kx?b，则称直线?:y?kx?b为f(x) 和g(x)的“隔离直线”，已知h(x)?x2,?(x)?2elnx（其中e为自然数的底数）. （1）求F(x)?h(x)??(x)的极值；
（2）函数h(x)和?(x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由.
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x2y2m2??(m?0)，经过椭圆C的右焦点F且21. （本题满分12分）如图所示，已知椭圆C:532斜率为k(k?0)的直线?交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点.
（1）是否存在k，使对任意m?0，
????????????总有OA?OB?ON成立？若存在，求
出所有k的值；
????????13 （2）若OA?OB??(m?4m)，求实
2数k的取范围.
22. （本题满分12分）数列{an}中，a1?nan1,an?1?(n?N?)，其前n 项的和为Sn. 2(n?1)(nan?1) （1）设bn?1，求证：数列{bn}是等差数列； nan （2）求Sn的表达式； （3）求证：
?(1?i?1nSi1)?2(2?1). Si?1Si?1第 4 页 共 9 页
数学（理）参考答案
题号 1 答案 D 2 A 3 C 4 A 5 C 6 C 7 B 8 B 9 B 10 C 11 A 12 B 13. 2 14.
12? 15. 16. ①②③ 5417.解：（1）f(x)?sin2x?3cos2x?2sin(2x??3). （3分）
由题设，2a??3?k???k?2,即a?2??12(k?Z).?a?0, 则当k?0时， a?min?12. （5分）
（2）当x5?0?[0,12]时， 2x??3?[?3,7?6],sin(2x??1003)?[?2,1].?f(x0)?[?1,2]. （8分）
由mf(x220)?2?0,得f(x0)?m.??1?m?2,即m??2或m?1 故m的取值范围是(??,?2]?[1,??) （10分）
18.解析：（1）设Ai表示事件“一个实验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，Bi表示事件“一个实验组中，服用B有效的小白鼠有i只” i?0,1,2,
依题意有
P(A121)?2?3?3?49, P(A2242)?3?3?9,
P(B?1110)2?2?4,
P(B1111)?2?2?2?2.
所有的概率为
P?P(B0?A1)?P(B0?A2)?P(B14141441?A2)?4?9?4?9?2?9?9. （2）?的可能值为0，1，2，3且??B(3,49).
P(??0)?(5)31259?729, P(??1)?C14521003?9?(9)?243, P(??2)?C2425803?(9)?9?243, 第 5 页 共 9 页
i?0,1,2,
6分） （