江苏省南通市通州区2014届4月高三数学最后一卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上． ?1?1．设集合A??x|?2?，B?x|2x?1，则A?x???B? ▲ ．
5的共轭复数是 ▲ ． 1?2in???,n?Z?，若从A中任取一个元素作为直线l的倾斜角，则直线l3．已知集合A???|??9??2．复数
的斜率小于零的概率是 ▲ ．
4．下面四个条件中，使a?b成立的充分而不必要条件是 ▲ ．（填写序号）
①a?b?1； ②a?b?1； ③a2?b2； ④a3?b3 5．设函数f(x)?1，则f(a)?f(c)? ▲ ． ?1，若a,b,c成等差数列（公差不为零）
x?b6．执行如图所示的程序框图，输出n? ▲ ．
第6题
T?T?n n?n?2 T?S N S?S?5 开始 S?0,T?0,n?2 Y y 输出n 结O K L x
M 第8题7．定义在?0,???上的函数f?x?的导函数f??x??0恒成立，且f?4??1，若f(x?y)≤1，
则x2?y2的最小值是 ▲ ．
8．设偶函数f?x??Asin??x????A?0,??0,0?????的部分图象如图所示，?KLM为等
1腰直角三角形，?KML?90,KL?1，则f()的值为 ▲ ．
69．若两圆x2?y2?2ax?a2?4?0和x2?y2?4by?1?4b2?0恰有三条公切线，其中
a,b?R,ab?0，则
41的最小值为 ▲ ． ?a2b210．如图，在直角梯形ABCD中，BC?DC,AE?DC,M,N分别是AD,BE的中点，将三角
形ADE沿AE折起．下列说法正确的是 ▲ （填上所有正确的序号）．
①不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN//平面DEC；
E D ②不论D折至何位置，都有MN?AE； ③不论D折至何位置（不在平面ABC内）， 都有MN//AB；
④在折起的过程中，一定存在某个位置，使EC?AD．
C
M
N
A B
?x2?ax?1,x?111．已知函数f?x???2在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围是
ax?x?1,x?1? ▲ ．
y212．设F?1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使 1,F2是双曲线x?42?OP?OF??FP?022（O为坐标原点），且
PF1??PF2，则
?的值为 ▲ ．
13．在
?ABC中，
AB?3AC，
AD是?A的平分线，且AD?mAC，则实数m的取值范围
是 ▲ ．
14．已知等比数列
{an}满足a1?1，0?q?1，且对任意正整数k，ak?(ak?1?ak?2)仍是该数列中的某一项，则公比q的取值2集合为 ▲ ．
二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
在?ABC中，已知sinB?sinC?sinA?cosB?cosC?． （1）判断?ABC的形状；
（2）若角A所对的边a?1，试求?ABC内切圆半径的取值范围．
16．（本小题满分14分）
如图，已知ABCD是直角梯形，?ABC?90,AD//BC,AD?2,AB?BC?1， PA?平面ABCD．
P
（1）证明：PC?CD；
（2）若E是PA的中点，证明：BE//平面PCD；
E
A D
B C
（3）若PA?3，求三棱锥B?PCD的体积．
17．（本小题满分14分）
诺贝尔奖发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、 化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人．每年发 放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以 便保证奖金数逐年递增．假设基金平均年利率为r?6.24%．资料显示：2002年诺贝 尔奖发奖后基金总额约为19800万美元．设f(x)表示为第x(x?N)年诺贝尔奖发奖 后的基金总额(2002年记为f?1?)．
（1）用f?1?表示f?2?与f?3?，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式．
（2）试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻 “2012年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美
元”是否为真，并说明理由．
（参考数据：1.0624?1.83，1.0312?1.36）
*101019．（本小题满分16分）
已知函数
f?x??lnx．
g?x??f?x?1??x的最大值；
?0，不等式f?x??ax?x2?1恒成立，求实数a的取值范围；
（1）求函数
（2）若?x（3）若1x?x2?0，求证：
f?x1??f?x2?x1?x2?2x22x12?x2．
20．（本小题满分16分）
已知数列
{an}，{bn}满足：bn?an?1?an?n?N*?．
（1）若
a1?1,bn?n，求数列{an}的通项公式；
（2）若n?1n?1bb?bn?n?2?，且b1?1,b2?2．
①记nc?a6n?1?n?1?，求证：数列?cn?为等差数列；
?an???中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a1应满足的条件． ?n?②若数列
南通市通州区2012届高三数学最后一卷
参考答案及评分标准
一、填空题
1．?xx?0? 2．1?2i 3．8．4 4．② 5．2 6．10 7．8 93133?1? 9． 10．①②④ 11．??,0? 12．2 13．(0,) 14．{2?1} 429?2?二、解答题
15．解：由已知等式利用正、余弦定理得
a2?c2?b2a2?b2?c2b?c?a(?)， …………………………3分
2ac2ab整理得?b?c??b2?c2?a2??0，?b2?c2?a2，
所以，?ABC为直角三角形，且?A?90． …………………………6分 （2）由?ABC为直角三角形， 知内切圆半径r?b?c?a11?(sinB?sinC?1)?(sinB?cosB?1)， …………11分 222sinB?cosB?2sin(B?)?2，?r?4?2?1． …………………………14分 216．（1）证明：由已知易得AC?2,CD?2，
AC2?CD2?AD2,??ACD?90，即AC?CD． …………………………3分
又PA?平面ABCD，CD?平面ABCD，?PA?CD，
由PAAC?A，?CD?平面PAC，
PC?平面PAC，?CD?PC． …………………………6分
（2）证明：取AD的中点F，连接BF,EF． AD?2,BC?1,?BC//FD,BC?FD，
P?四边形BCDF是平行四边形，即BF//CD，
BF?平面PCD，?BF//平面PCD．………8分 E,F分别是PA,AD的中点，?EF//PD， EF?平面PCD，?EF//平面PCD．………10分 E
AF
D
EFBF?F，?平面BEF//平面PCD，
BCBE?平面BEF,?BE//平面PCD．………11分
（3）解：由已知得S?BCD?1， 211所以，VB?PCD?VP?BCD??PA?S?BCD?． …………………………14分
3217．解：（1）由题意知：f(2)?f(1)?(1?6.24%)?一般地：f(3)?f(2)?(1?6.24%)?1?f(1)?6.24%?f(1)?(1?3.12%)， 21?f(2)?6.24%?f(1)?(1?3.12%)2 ，…4分 2?1x?∴ f(x)?1980（． ……………………………………7分 ?0?(13.x12%)N*）
（2）2011年诺贝尔奖发奖后基金总额为：
f(10)?19800?(1?3.12%)9?26100 ， …………………………………………10分
2012年度诺贝尔奖各项奖金额为?11?f(10)?6.24%?136万美元， ………12分 62与150万美元相比少了约14万美元．
答：新闻 “2012年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”不真，是假新闻． ……14分
18．解：（1）点
A?3,1?代入圆C方程，得(3?m)2?1?5．
∵m＜3，∴m＝1． …………………… 2分
圆C：
(x?1)2?y2?5．
y?k(x?4)?4，即kx?y?4k?4?0．
设直线PF1的斜率为k，则PF1：
∵直线PF1与圆C相切，∴|k?0?4k?4|k?12?5．
解得
k?111或k?22． …………………… 4分