2V4?R3?2VA??4?R?2?， 得到唯一驻点R?RR23V。 2?VV?此时H??R2?3?2??????V?234V?3。
? 根据问题的实际情况，当R?V，H?2?34V?时，所需材料最省.
**6 在铁道线（假设是直线）上有一点A与原料供应站B相距100km，在铁道线外有一
工厂C,且CA垂直于AB(如图)且C,A相距20km已知汽车运费为m元的运费为n元 t?km,火车(m?n)现准备在A,B之间选一点D,向工厂修建一条公路,使 t?km原料供应站B运货到工厂所用运费最省,问D应选在何处?
解：设AD?x,则CD?400?x2,BD?100?x,
于是总运费y?m400?x2?n(100?x) (0?x?100)
y??mx?n400?x2400?x2，20nm2?n2
令y??0得唯一驻点：x? y???400m232?0
(400?x)20n可见:在距A点(km)处,修公路至C可使总费用最省。
22m?n
**7．由y?0,x?8,y?x围成的曲线边三角形OAB,这里A?(8,0)、B?(8,64).
2在曲边OB上求一点,使得过此点所作的y?x2的切线与OA,AB所围成的三角形 面积最大。
解：
设曲边OB上任取一点为M?(x，x2)(0?x?8),则过该点的切线为： Y?x2?2x(X?x)
54
x切线与x轴的交点P?(，0)与x?8的交点Q?(8，2x(8?x)?x2)2于是所围的三角形PAQ的面积为：
1xx S?(8?)2x(8?x)?x2?(16?x)2 (0?x?8)2243116S??x2?16x?64?(16?x)(16?3x)，唯一驻点 x?，
443??S???3x?16 S??2x?163?0
?16256??在点?，?处作切线，所围面积最大.
39??
***8. 讨论方程x?5x?C?0实数根的个数.
解: 设 f(x)?x5?5x?C, 则f(x)在(??,??)上可导, 且 f?(x)?5(x4?1),
当 x?1 时, 有 f?(x)?0, 所以 f(x)?； 当 x?1 时, 有 f?(x)?0, 所以 f(x)?,
所以 f(x) 有极大值 f(?1)?C?4 和极大值 f(1)?C?4.
由于还有
5f(??)???,f(??)???, 所以综合起来有:
当 C?4 时, 方程有三个实数根； 当 C?4 时, 方程有两个实数根； 当 C?4 时, 方程有一个实数根.
第4章 （之3）
第21次作业
教学内容：§4.2 函数的凸性与拐点
1. 填充题
**(1). 曲线 y?1?2x?3sinx 的拐点是______________.
答案: (n?,1?2n?)(n?0,?1,?2,?3,?)
**(2)．设曲线y?ax?bx32. 以点(1，3)为拐点,则数组(a,b)?_________________答(a,b)?(?39，)22
**(3). f(x)?arctanx是区间_________上的凸函数；是区间_________上的凹函数.
答案 (??,0]，[0,??). 说明:也可以填 (??,0),(0,??).
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2．选择题 **（1）函数y?x3?12x?1在定义区间内 （ ）
(A) 单调增加(B) 单调减少(C) 是凹函数答：(A)
**（2）曲线(D) 是凸函数
12，?)近邻是 （ ） e2e4A. 凸的；B 凹的；C 左侧近邻凸,右侧近邻凹；y?x2lnx在点P?(D 左侧近邻凹,右侧的近邻凸。2?1?1答(B) . y??2xlnx?x, y???2lnx?3在?2，?4?连续,y??(2)??1?0 .根据连续
e?e?e 函数的局部保号性可得结论.
**（3）曲线y?e?x2
的拐点情况是 （ ）
(A) 没有拐点； (B) 有一个拐点；
(C) 有两个拐点 ； (D) 有三个拐点。答：(C)
**3．求函数y?ln1?x2的凸凹区间和它图形上的拐点.
2解：?y??ln1?x?2?2x??????1?，
x2?1?x??2x?2x2?2xy?????1?x??1?x?222222，
?当x??1或x?1时，f???0，
当?1?x?1时，f???0.
?函数在区间??1,1?上是凸函数，在区间???,?1?，?1,???上是凹函数.
? 其图形上的拐点为?1,ln2?，??1,ln2?.
?解：?y??2k?x?3??2x， y???4k?3x22***4．试决定常数k的值，使曲线y?kx2?3在拐点处的法线通过坐标原点.
??3，
令y???0?x??1，y?4k。 此时，y???8k， ?过拐点处的法线为
1?x?1? 或 y?4k?1?x?1?. y?4k?8k?8k2将?x,y???0,0?代入，解得k??.
82?
56
***5. 证明: 无论实数a,b取何值, 曲线 y?3x5?10x3?ax?b的三个拐点总在同一条直线上.
证明: y??15x4?30x2?a,y???60x3?60x?60x(x?1)(x?1).
当 x??1, 或 0?x?1 时, y???0；
当 ?1?x?0, 或 x?1 时, y???0，
所以曲线有三个拐点： (?1,7?a?b),(0,b),(1,?7?a?b)，
它们都在直线 y?(a?7)x?b 上.
****6. 若f??(x0)?0,f???(x0)?0, 证明: 点 (x0,f(x0)) 必是曲线y?f(x)的拐点. 证明: 不妨设 f???(x0)?0, 由三阶导数的定义可知
x?x0limf??(x)?f??(x0)f??(x)?lim?f???(x0)?0, x?x0x?x0x?x0再根据局部保号性定理可知: ???0,当 0?x?x0?? 时, f??(x) 与 x?x0 同号,可知点 (x0,f(x0)) 确是曲线y?f(x)的拐点.
第4章 （之4） 第22次作业
教学内容：§4 .3 .1 曲率的概念 §4 .3 .2 曲率的计算公式 §4 .3 .3 曲率半径
**1. 曲线y?4ax?x2在点(a，3a)处的曲率为 （ ） 11(A) , (B) a,(C) , (D) 2a
a2a答：(C)
2．填充题：
**（1）曲线y?x2?ex在点(0,1)处的曲率K?______和曲率半径R?_______. 答：K?4,R?
2**（2）抛物线y?x?4x?3在其顶点处的曲率K?______和曲率半径R?_______.
21. 4答：K?2,R?
1. 222**（3）椭圆4x?y?4在点(0,2)处的曲率K?______和曲率半径R?_______.
答：K?2,R?
1. 2 57
?x?a?t?sint?,?(a?0)，在t?对应点处的曲率和曲率半径.
2?y?a?1?cost?,d?a?1?cost??sint解：?y??， ?d?a?t?sint??1?cost**3.求曲线?2?sint?cost?1?cost??sintd??2cost?cos2t?sin2t?1?cost?1?cost??， y?????3d?a?t?sint??a?1?cost?a?1?cost??sin0?0?1?12?1， y???? ?y???. ?3t?t??aa?1?0?221?cos21y??2a??, R?22a . ?K?334a1?y?22?1?12?2??
**4. 求曲线xy?2 在点?2,1? 处的曲率.
2， x214 ?y???2y?x?2??，y???32xx1y??2?? 曲率为 K?解：?y?
y??x?2?41?. 82?1?y??322??1?2??1????????2???32?455.
y2x**5．证明曲线y?ach(a?0)在点(x,y)处的曲率半径为R?.
aa1xch1ax1xaaK???证明： y??sh，y???ch，， 32xaaa y2x(1?sh2)2achaa1y2R??.
Ka**6．求曲线y?sinx(0?x??)上曲率半径最小的点，并求出该最小值.
y??sinx解： K?， ?331?(y?)22(1?cos2x)2??显然x???时，分子最大，分母最小,曲线上曲率在点(,1)处有最大值，所以在此点有 2258