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第4章 （之5） 第23次作业
教学内容：§4 .4 .5函数图形的的描绘 §4.5 相关变化率
**1. 曲线y?x3?1x?x3的渐近线的条数为 （ ）
（A） 2条； （B）3条； （C）4条； （D）5条. 答：（C）
2．画出下列函数的图形 **（1）y?x. 21?x
解：y的定义域为???,???，且为奇函数. y??1?x2?2x?x2222?1?x??1?x??2x?1?x??4x?1?x??1?x? y???
?1?x?222224?1?x2, 令y??0，可知x??1为驻点.
??2x?2x3?4x?4x3?1?x?23??6x?2x3?1?x?23?2xx?3x?3??1?x???23?
?3???. ?令y???0，拐点为?0,0?，?3,??4???0?x?1 1 x 0 y? 0 ? ? ? ? y?? 0 y 拐点(0,0) 单调增加凹函数 极大值1?x?3 ? ? 3 ? 0 拐点 x?3 ? ? 单调减少 凸函数 1 单调减少 凹函数 2(3, 3)4x?0， ?有水平渐近线y?0.
x??1?x2 y 又?lim如图示：
?3 o 3 x
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1. x12x3?122(x3?1)解：y??2x?2?， y???2?3?， 23xxxxx (??,?1) -1 (?1,0) 0 11(0,3) 3
22- - - 0 y?
0 - + + y?? +
y 单调减少拐点单调减少垂直单调减少3极小值
凸函数 (?1,0) 凹函数 渐近线 凸函数 342**（2）y?x?(312,??)
+ + 单调增加凸函数
limy??
x?0y x?0为垂直渐近线. -1 o 1 x
*3* 求曲线y?x?4x2?x的斜渐近线. 解：x???时，k?lim?1y?5,h?lim(y?5x)?2;x???时，
x???xx???y??3,h?lim(y?3x)??2 ,
x???xx???所以斜渐近线有两条 y?5x?2 和 y??3x?2.
k?lim
3t?x?3??1?t*4* 求曲线?2的斜渐近线.
3t?y??1?t3?解：x??等价于t??1， k?limy?limt??1， x??xt??13t2?3th?lim(y?x)?lim??1，
x??t??11?t3 所以斜渐近线为 x?y?1?0.
**5．设球的体积以常数速率变化，证明，其表面积的变化速率与半径成反比。 证：
dV?k。 dt 60
?V?43?R，S?4?R2， 343dV4dR???3R2?对V??R两边求导，.
3dt3dtdR1dVk??. ?dt4?R2dt4?R2dSdR?8?R?对S?4?R2两边求导，. dtdtdSk2k?8?R??. ?dtR4?R2
**6. 一小球从坐标原点出发, 沿着曲线 y?f(x) [f(0)?0,往下滚, 已知其铅直速度与运动方向. 解: 由
f?(x)?0,f??(x)?0]
dy?C为常数, 求它在任一点M?(x,y)(x?0)处的运动速度dtdydxdx1dy?C?f?(x), 可得 ??, 所以
??dtdtdtf(x)dtf(x)dx2dy21)?()??C?1, dtdt[f?(x)]2dy?f?(x). 而运动方向为 tan??dx注意: 这里常数C必定是一个负数.
所以运动速度为 v?(
***7. 水从底半径为R(cm)高为H(cm)开口向上的圆锥形漏斗底部小孔流出. 设底部小孔面
积为S(cm),当漏斗内水面高度为 h(cm)时, 水从底部小孔流出的速度为 0.62S2gh(cm3/s). 求液面高度为h(cm)时, 液面高度降低的速度.
2dV?0.62S2gh, dt?Rh2?R23dV?R22dh)h?h, 可得 ?2h而由 V?(, 23Hdtdt3HH0.622gSH2?3dhH2dVH2所以有 ?22?22(0.62S2gh)?h2(cm/s). 2dt?Rhdt?Rh?R解: 因为
****8．设f?x?在x0的某邻域内具有n阶连续导数，且f??x0????f?n?1??x0??0，而
f?n??x0??0。试证明：
①当n为奇数时，则点(x0,f?x0?)必是曲线y?f(x)的拐点；
②当n为偶数时，则点(x0,f?x0?)不是曲线y?f(x)的拐点。
证：?f???x?在x0的某邻域内具有n?2阶连续导数，由n?3阶泰勒公式，
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f?n?1??x0?f?n????n?3?x?x0???x?x0?n?2 f???x??f???x0??f????x0??x?x0????(n?3)!(n?2)!f?n???? ??x?x0?n?2 ，?在x0与x之间. (n?2)!不妨设f?n??x0??0，根据连续函数的局部保号性定理，可知存在x0点的某个邻域N(x0)，
当x在该邻域内时总有有f?n??x??0. 由于?在x0与x之间,可知?也必然在该邻域内，所以有f?n?????0. 于是
①n为奇数时，只要x0?x?x0??，就有
f?n???? f???x???x?x0?n?2?0，
(n?2)! 当x0???x?x0时，
f?n???? f???x???x?x0?n?2?0， (n?2)! ?(x0,f(x0))是曲线的拐点.
②当n为偶数时，只要0?x?x0??，就有
f?n???? f???x???x?x0?n?2?0， (n?2)! ?(x0,f(x0))不是曲线的拐点.
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