Lebesgue积分与Riemann积分的区别
Lebesgue积分与Riemann积分是非常重要的两种积分，在数学发展史上发挥过巨大的作用。Riemann积分是近代数学的核心，lebesgue积分是现代实变函数论的核心。
在有界函数范围内，R积分存在以下缺陷。 1）R积分与极限可交换的条件太严；
2）积分运算不完全是微分运算的逆运算；
3）不适宜于无界区间：R积分只能用来在有界区间内对函数进行积分； 4）缺乏单调收敛。
1 积分的定义 1.1 L积分的定义 定义1：设
f?x?是
E?Rn?mE???上的非负可测函数。定义f?x?是E上的Lebesgue
积分E若E?????f?x?dx?sup??h?x?dx?h?x??f?x????E?x?Eh?x?，是R上的非负可测简单函数，积分可以是??；
n?f?x?dx??，则称f?x?在E上是Lebesgue可积的。
n设f?x?是E?R上的可测函数，若积分E?f?x?dx?、E?f?x?dx?中至少有一个是
有限值，则称E?f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx??EE为f?x?在E上的Lebesgue积分；当上
式右端两个积分值结尾有限时，则称f?x?在E上Lebesgue可积的。
定义2：设E是一个Lebesgue可测集，mE??，f?x?是定义在E上的Lebesgue
fx?l,?l,?可测函数，又设f?x?是有界的，就是说是否存在l及?，使得????，在??中任取一分点组D
l?l0?l1??ln??记
??D??max?lk?lk?1?1?k?n
Ek?E?lk?1?f?x??lk?f?mE?0并任取?i?Ek（约定当Ek??时，?i??k?），作和
S?D???f??i?m?Ek?k?1n
?D?0SD如果对任意的分法与?i的任意取法，当??时，??趋于有限的极限，则称
它为f?x?在E上关于勒贝格测度的积分，记作
J??f?x?dxE
E的任意分割D：
E?ni?1定义3：设
f?x?n是E?R（mE??）是的有界可测函数。作
Ei，
其中Ei为互不相交的非空可测子集。设
Bi?supf?x?,Ai?inff?x?x?Eix?Ei，
则D的大和及小和为
SD??BimEi,sD??AmEiii?1i?1nn。设f?x?在E上的上下积分为
D??f?x?dx?supsD,??f?x?dx?infSDEDE
若
??f?x?dx??f?x?dxEE
则称f?x?在E上是可积的，且称该共同值为f?x?在E上的Lebesgue积分，记为。
定义1 定义L积分的方法称为逼近法，即从特征函数的积分入手，然后用简单可测函数来逼近可测函数的方法；定义2、3定义L积分的方法可称为划分法，划分法类似于R积分的定义法，先对可测集进行划分，在此基础上再给出L积分。
1.2 黎曼积分的定义
E?f?x?dx定义1：S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的??0，都存在??0，使得对于任意的取样分割xo,x1,,xn；to,t1,,tn?1，只要它的子区间长度最大值???，就有：
n?1?f?t??xii?0i?1?xi??s?s
也就是说，对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么f在闭区间[a,b]上的积分存在，并且定义为黎曼和的极限，则称函数f为黎曼可积的。
该定义的缺陷缺乏可操作性，要检验所有的取样分割是很难的。
fx定义2（达布积分）：设??是定义[a,b]上的有界函数，任取一分点组T
a?x0?x1?x2??xn?b
将区间[a,b]分成n部分，在每个小区间[xi?1,xi]上任取一点?i，i?1,2,3,S??f??i??xi?xi?1?i?1n。做和
令
r?max?xi?xi?1?1?i?n，如果对任意的分发与?i的任意取法，当r?0时，S趋于有限
的极限，则称它f?x?在[a,b]上的黎曼积分，记为
I?R?f?x?ab
定义3：S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的??0，都存在一个取样分割yo,y1,,yn和so,s1,,sn，都有：
如果有一个S满足了其中的一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个S满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值???的分割中任取一个。对于比其精细的分割，自取件长度最大值显然也会小于?，于是满足：
i?0?f?s??yim?1i?1?yi??s???f?s??yii?0m?1i?1?yi??s??1.3 区别
R积分是“竖”着分割区间[a,b]，而L积分是“横”着分割值域[L,M]。前者
T的优点是?i?[xi?1,xi]的度量容易给出，但当分法的细度充分小时，函数f?x?在
?i
上的振幅
x?Ek?i?supf?x??inff?x?x??ix??i仍可能较大；后者的优点是函数f?x?在Ek上的振
幅
?k?supf?x??inff?x????D?x?Ek较小，但Ek一般不再是区间，而是可测集。其度量
m?Ek?的值一般不易给出。对定义域与对值域的分割是R积分与L积分的本质区
别。对值域进行分割求积分的方法使E中的点分成几大类。另外，L积分理论是
在测度理论的基础上建立的，测度是平面上度量的推广，这一理论可以处理有界函数和无界函数的情形。而且把函数定义在更一般的点集上，而不仅仅限于[a,b]上。这种差别是的Lebesgue积分具备了很多黎曼积分所不具备的良好性质。
2 Lebesgue积分与Riemann积分的计算
符号约定：设f是[a,b]上的有界函数，V是非退化区间，记
Mf?V??sup{f?x?|x?V?[a,b]}，
mf?V??inf{f?x?|x?V?[a,b]}
?f?M?V??m?V?
?f?x??inf{??V?|V是开区间，且x?V}
称?f?V?是f在V??a,b?上的振幅，?f?x?是f在x处的振幅。当函数f确定时，
?f?V?与?f?x?简记为??V?与??x?。几个定理：
定理1：设f是定义在[a,b]上的函数，??0，则 （1）对任意x??a,b?，f在点x连续当且仅当??x??0； （2）集合?x?[a,b]|??x????是闭集。
x?[a,b]|??x??0?定理2：区间[a,b]上的有界函数f黎曼可积的充要条件是集合?的
测度为0。
定理3：若有界函数f在[a,b]上黎曼可积，则f在[a,b]上也是勒贝格可积，且积分值相等，即
定理2说明L积分是R积分的推广，定理3说明对于非负函数而言L积分也是R反常积分的推广，但是一般情况下L积分并不是R反常积分的推广，这主要因为L积分是绝对收敛的积分而收敛的R反常积分并不一定绝对收敛。所以不能一味L积分包括了R积分就得出L积分比R积分优越的结论。然而L积分对于Ｒ积分来讲确实有着本质上的进步。
[a,b]?R??af?x?dx??f?x?bEg1: 设?0,??上函数
??sinx x??0,??\\Qf?x?????x x??0,???Q
计算?[0,?]解：因?f?x?dx。
fx?sinx是零测集，故在?0,??上?? a.e.
[0,?]0,???Q所以，?[0,?]
f?x?dx??sinxdx??R??[0,?]sinxdx?1
?sinx,x?0?f?x???x??1, x?0 Eg2：令
0,???fx则??在?上的R反常积分收敛且
?R??0??sinx?dx?x2
?但是，
?L???0,???f?x?dx??2???n?0?2n?1???；
同理，
?L???0,???f??x?dx???。
所以f?x?在?0,???上不是积分确定的，当然不然L可积。
3. 从极限理论上比较分析Lebesgue积分和Riemann积分的优缺点 3.1 Lebesgue测度与L积分控制收敛定理
Lebesgue可测：Lebesgue测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义Lebesgue积分。可以赋予一个体积的集合被称为Lebesgue可测；勒贝格可测集A的体积或者说测度记作??A?。一个值为?的Lebesgue测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rn的所有子集也不都是Lebesgue可测的。
Lebesgue控制收敛定理：设?s,E,??为一个测度空间，?fn??0是一个实值的可测函数列。如果（fn）逐点收敛于一个函数f，并存在一个Lebesgue可积函数
g?L1，使得对每个n?0，任意对每个n?0，任意x?s，都有
fn?x??g?x?则：
1. f也是Lebesgue可积的，f?L； 2.
?sfd???limfnd??lim?fnd?sn??n??s
n?0的逐点收敛和fn?x??g?x?其中的g函数一般取为正值函数。函数列（fn）
的性质可以减弱?为几乎处处成立。
3.2 Lebesgue积分的优点
1）在R积分中逐项积分问题，也就是积分与极限过程交换顺序问题，条件非常苛刻，要求被积函数一致收敛，极限才能通过积分号。而L积分比R积分要求的条件小得多，对非负函数项级数几乎可无条件地逐项积分，就L控制收敛定理而言，只须存在控制函数F?x?，使得积分比R积分灵便得多。 Eg: 狄克莱函数
??1 x?Q??0,1?D????0 x?Q??0,1?
f?x??F?x?即可，因此在极限换序上L
把[0,1]上的有理点一次排列成：r1?r2??rn?作函数列
?n?x????1 当x?r1??0 其余情况?rn
则?n?x?处处收敛于D?x?，且0??n?x??Dx??，n?1,2,在L积分意义下有Lebesgue控制收敛定理
n??lim[0,1]???x?dx??n[0,1]n??lim?n?x?dx?[0,1]?D?x?dx?0（?）
R??n?x?dx?0,n?1,2,01但
D?x?不是R可积，尽管在R积分意义下，有：
，（?）不
成立。
f?x?2）在R积分中f?x?可积，有也可积，但反之不成立
??1 x?Q?[0,1]f?x?????0 x?Q?[0,1]
Eg：
f?x??1在[0,1]上可积，但f?x?不可积，其大和为1，小和为-1，而在L积分中有
很好的结论，L积分是绝对收敛积分。即：f?x?在集合E上可测，f?x?L可积的充分必要条件是
f?x?可积。
3）在R积分下二重积分化成累次积分计算时，要求被积函数在积分区域上
连续，这一要求是比较高的，运算起来不方便，特别是对非负可测函数来讲，可无条件地化成类此积分，这些结果运算起来比较方便。