江苏省东海高复中心2009届高三数学综合训练
（满分160分，答题时间120分钟）
一、填空题（每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的指定位置内） 1． 若z?C，且(3?z)i?1，则z?________________。
2．已知全集U?R，集合A?{x|x2?2x?3?0,x?R}，B?{x||x?2|?2,x?R}， 那么集合A?B?__________。
3． 从2008名学生中选取100名组成合唱团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样
从2008人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人被剔除的概率为 ▲ ．
I←1
4．已知实数a?0，直线l过点P(2,?2)，且垂直于向量 S←0
While I＜m
?? S←S+I m?(3,?3)，若直线l与圆x2?y2?2ax?a2?a?0相交，
I←I+1 End while 则实数a的取值范围是________________。
Print S 5． 下面求1+4+7+10+?+2008的值的伪代码中，
End
正整数m的最大值为 ．
6． 在数列?an?中，a1?0,a2?2，且an?2?an?1?(?1)n(n?N?)，S100?_________。 7．在?ABC中，AB?4，B?2
2
?3，?ABC的面积为3，则AC?_______________。
8． 设p：x|x+1|=2x，q：(x+1)=4x2，则p是q的 条件．
9． 已知P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的动点，且AP?2，则动点P的
轨迹的长度是 ． 10．某同学在研究函数f(x)?x(x?R) 时，分别给出下面几个结论：
1?|x|②若f(x1)?f(x2)，则一定有x1?x2；
①等式f(?x)?f(x)?0对x?R恒成立；
③若m?0，方程|f(x)|?m有两个不等实数根；④函数g(x)?f(x)?x在R上有三个零点。其中正确结论的序号有________________。（请将你认为正确的结论的序号都填上） 11．对于实数x，若n∈Z，n≤x＜n+1，规定[x]=n，则不等式4[x]2-40[x]+75＜０的解集
是 ． 12．已知集合A?{z|z?1?i?i???i,n?N}，B?{?|??z1?z2,z1、z2?A}，（z1可以等于z2)，从集合B中任取一元素，则该元素的模为2的概率为______________。 13．已知函数f(x)?2n*xcosx?cosx?sinx?2（x∈[-8π，8π]）的最大值为M，最小值为
cosx?2m，则M+m= ．
14．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱 锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”。
（1）直角三角形具有性质：“两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方”。 仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质： 。 （2）直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”。
仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质： 。 二、解答题（共6大题，满分90分．解答须写出必须的解题过程．） 15．已知函数f(x)?cos2x?sin2x?23sinxcosx?1. （1）求f(x)的最小正周期，并求f(x)的最小值； （2）若f(?)?2，且??[
16．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140＜2a＜420，且a为偶数)，每人每年可创利10万元. 据评估，在经营条件不变的前提下，若裁员多创利0.1x万元，但公司需付下岗职员每人每年4万元．．．x人，则留岗职员每人每年．．．．的生活费，并且该公司正常运转情况下，所裁人数不超过50人，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
??,]，求?的值。
42x2y2317．已知双曲线2?2?1的渐近线方程为y??x，左焦点为F，过
3abA(a,0),B?(0,b的直线为l，原点到直线l的距离是
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线y?x?m交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数m，使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F。若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
3. 218．如图是表示以AB=4，BC=3的矩形ABCD为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，
其中四边形EFGH为截面．已知AE=5，BF=8，CG=12．
（1）作出截面EFGH与底面ABCD的交线l；
（2）截面四边形EFGH是否为菱形？并证明你的结论； （3）求DH的长．
19．对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数。
① 对任意的x?[0,1]，总有f(x)?0；
② 当x1?0,x2?0,x1?x2?1时，总有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)成立。 已知函数g(x)?x2与h(x)?a?2x?1是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由； （2）若函数h(x)是G函数，求实数a组成的集合；
（3）在（2）的条件下，讨论方程g(2)?h(?2x?1)?m(m?R)解的个数情况。
20．已知点列B1(1,y1),B2(2,y2),?,Bn(n,yn),?(n?N*)顺次为直线y?点列A,2x(2,?0),An,xn1(x1,0)AxH G
E D A F C B
x上的点，4(n(?,0)?,N*)顺次为x轴上的点，其中
n?N*，点An、Bn、An?1构成以Bn为顶点的等腰三角形。) x1?a(0?a?1，对任意的
（1）证明:数列?yn?是等差数列；
（2）求证:对任意的n?N*，xn?2?xn是常数，并求数列?xn?的通项公式； （3）对上述等腰三角形AnBnAn?1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答。 （根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）
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参考答案
一．填空题
1 4.[2,8] 5.2011 6. 2550 7.13 251328.既不充分也不必要 9. ? 10.①② 11.?3.8? 12. 13. 2
7214. ①在直角三棱锥中，三个直角面的面积的平方和等于斜面面积的平方； ②在直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一。 二．解答题
1.-3-i 2.?x|0?x?3? 3.
15．（本题满分1２分）
解：（1）f(x)?cos2x?sin2x?23sinxcosx?1?3sin2x?cos2x?1 =2sin(2x??6)?1. ???４分
因此f(x)的最小正周期为?,最小值为?1. ???６分 (2) 由f(?)?2得2sin(2?? 而由??? 故2???6)?1=2，即sin(2???6)?1， 2??27?????得 2?????,??. ???９分 ,?，
6?36??42??5???， 解得??. ???1２分 66316.（本题满分14分） 解：，设裁员x （x?(0,50]x?N*）人，可获得的经济效益为y万元，则
y?(2a?x)(10?0.1x)?4x ???５分 ??12[x?2(a?70)x]?20a 10x?(0,50]x?N* ………6分
当0?a?70?50,即70?a?120时,x?a?70,y取到最大值； ……………9分
120?a?210时,x?50,y取到最大值；……………………12分 当a?70?50,即答：当 70
当120
解：（1）∵b?aa3 ???2分 ,3原点到直线AB：x?y?1的距离，d?baba2?b2?ab3 ???４分
?.c2?b?1,a?（2）把
3. 故所求双曲线方程为
x22?y?1. 3 ???6分
y?x?m代入x2?3y2?3中消去y，整理得
2x2?6mx?3m2?3?0. ???8分
设C(x1,y1),D(x2,y2)，则
x1?x2??3m,3m2?3x1x2?, F(?2,0),
2????????因为以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，所以FC?FD?0 ， ???10分
可得 (x1?2)(x 把2?2)?y1y2? 0y1?x1?m,y1?x1?m代入，
解得：m?3?2 ???13分
2解??0，得m?2，?m?3?2满足??0，?m?3?2???14分
18. （1）作HE与DA的交点P，作GF与CB的交点Q，连PQ得直线l，它便是所求作． （2）截面EFGH为菱形．
因平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，
故EF∥GH．
同理，FG∥EH，故四边形EFGH为平行四边形．
222222
又EF=AB+(BF-AE)=25，FG=BC+(CG-BF)=25，于是 EF=FG=5，
故 四边形EFGH为菱形．
（3）由AE+CG=BF+DH，得 DH=9． １９．（本题满分１６分）
2解：（1） 当x??0,1?时，总有g(x)?x?0，满足①， ???1分
当x1?0,x2?0,x1?x2?1时，
g(x1?x2)?(x1?x2)2?x12?x22?2x1x2?x12?x22?g(x1)?g(x2)，满足②??4分
（2）若a?1时，h(0)?a?1?0不满足①，所以不是G函数； ???５分
x若a?1时，h(x)?a2?1，在x?[0,1]上是增函数，h(x)?h(0)?a?1?0，