P(X?3)?11 ， ----------------------7分 ?C7435132C2C4?C42P(X?4)??， ----------------------8分 4C753C64P(X?6)?4? ----------------------9分
C77所以随机变量X的分布列为：
X P 3 4 6 1 352 54 7----------------10分
所以随机变量X的数学期望EX?3?124179 . ----------------------12分 ?4??6??35573519.（本小题满分12分）
解（Ⅰ）连结OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，
∴PH∥CF，又∵AF?平面AFC，∴PH∥平面AFC -------------------2分 连结PO，则PO∥AC，AC?平面AFC，PO∥平面AFC -----------------4分
PO?PO1?P∴平面POO1∥平面AFC， ----------------5分
PM?平面AFC
PM//平面AFC ----------------------6分
（Ⅱ）?矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，CB?AB
所以CB?平面ABEF，又AF?平面BDC1，所以CB?AF ----------------7分 又AB?2，AF?1，?BAF?60，
由余弦定理知BF?3，AF?BF?AB得AF?BF ----------------8分
222?AF?CB?B∴AF⊥平面CFB ---------------------9分 所以?ACF为直线AC与平面CBF所成的角， ---------------------10分 在直角三角形ACF中
sin?ACF?AF15?? ----------------------12分 AC55C 法二：以O为原点建立如图所示空间直角坐标系，
13A(1,0,0),B(?1,0,0),C(?1,0,1),F(,,0), -----------------7分 22?设平面CBF的法向量为n?(x,y,z)，
D ????????33FC?(?,?,1),CB??0,0,?1?， -------------------8分
22z P B O M F E y
A x ?????????n?CB?0,?z?0,?由??? 所以 ?????????3x?y?0,?n?FC?0,?x?1??令x?1，则?y??3 ，所以n?(1,?3,0)，-----------------10分
?z?0?????AC???2,0,1?
?????∴ cos?n,AC???25?? ---------------------11分
55?4∴直线AC与平面CBF所成角的正弦值为5 -------------------12分 520.（本小题满分12分） 解：(Ⅰ) 由8Sn?an?4an?3①
知8Sn?1?an?1?4an?1?3(n?2,n?N)② ----------------------1分
由①-②得8an?(an?an?1)(an?an?1)?4an?4an?1
整理得(an?an?1?4)(an?an?1)?0(n?2,n?N) ----------------------2分 ∵{an}为正项数列∴an?an?1?0,，∴an?an?1?4(n?2,n?N) ----------------------3分 所以{an}为公差为4的等差数列，由8a1?a1?4a1?3,得a1?3或a1?1 ----------4分 当a1?3时，a2?7,a7?27，不满足a2是a1和a7的等比中项. 当a1?1时，a2?5,a7?25，满足a2是a1和a7的等比中项.
所以an?1?(n?1)4?4n?3. ----------------------6分(Ⅱ) 由an?4n?3得bn?[log2(222an?3)]?[log2n]， ----------------------7分 4mm?1由符号[x]表示不超过实数x的最大整数知，当2?n?2时，[log2n]?m，
----------------------8分
所以令
S?b1?b2?b3??b2n?[log21]?[log22]?[log23]??[log22n]
?0?1?1?2???3???4???n?1???n
∴S?1?2?2?2?3?2?4?2?(n?1)?21234n?1?n① ----------------------9分
2S?1?22?2?23?3?24?4?25?(n?1)?2n?2n② ----------------------10分
①-②得
?S?2?22?23?24?...?2n?1?(n?1)2n?n 2(1?2n?1)nn??(n?1)2?n?(2?n)2?n?21?2?S?(n?2)2n?n?2
n即b1?b2?b3??b2n?(n?2)2?n?2. ----------------------12分
21. （本小题满分13分）
解:（Ⅰ）∵A(?a,0),设直线方程为y?2(x?a),B(x1,y1)
令x?0,则y?2a,∴C(0,2a), ----------------------2分
????????∴AB?(x1?a,y1),BC?(?x1,2a?y1) ----------------------3分 ?6???BC 13661312∴x1?a=(?x1),y1?(2a?y1),整理得x1??a,y1?a --------------------4分
13131919∵AB?????132122a2b23∵B点在椭圆上,∴()?()?2?1,∴2?, ----------------------5分
1919ba4a2?c23312?,∴即,∴ ----------------------6分 1?e?e?a2442b232（Ⅱ）∵2?,可设b?3.ta2?4t,
a4∴椭圆的方程为3x?4y?12t?0 ----------------------7分
22?3x2?4y2?12t?0222由?得(3?4k)x?8kmx?4m?12t?0 ----------------------8分 ?y?kx?m∵动直线y?kx?m与椭圆有且只有一个公共点P ∴??0,即64km?4(3?4m)(4m?12t)?0
整理得m?3t?4kt ----------------------9分
222222设P(x1,y1)则有x1??∴P(?8km4km3m, ??y?kx?m?112222(3?4k)3?4k3?4k4km3m,) ----------------------10分 223?4k3?4k又M(1,0),Q(4,4k?m)
若x轴上存在一定点M(1,0)，使得PM?QM, ∴(1?4km3m,?)?(?3,?(4k?m))?0恒成立 223?4k3?4k22整理得3?4k?m, ----------------------12分 ∴3?4k?3t?4kt恒成立,故t?1
22x2y2所求椭圆方程为??1 ----------------------13分
4322. （本小题满分13分）
解：(Ⅰ) f?(x)?ae(x?2)， g?(x)?2x?b ----------------------1分
由题意，两函数在x?0处有相同的切线.
x?f?(0)?2a,g?(0)?b,?2a?b,f(0)?a?g(0)?2,?a?2,b?4，
?f(x)?2ex(x?1),g(x)?x2?4x?2. ----------------------3分
(Ⅱ) f?(x)?2e(x?2)，由f?(x)?0得x??2，由f?(x)?0得x??2，
x?f(x)在(?2,??)单调递增，在(??,?2)单调递减. ----------------------4分 ?t??3,?t?1??2
① 当?3?t??2时，f(x)在[t,?2]单调递减，[?2,t?1]单调递增，
∴f(x)min?f(?2)??2e. ----------------------5分 ② 当t??2时，f(x)在[t,t?1]单调递增，
?2?f(x)min?f(t)?2et(t?1)；
?2???2e(?3?t??2)?f(x)??t ----------------------6分
??2e(t?1)(t??2)（Ⅲ）令F(x)?kf(x)?g(x)?2ke(x?1)?x?4x?2，
x2由题意当x??2,F(x)min?0 ----------------------7分 ∵?x??2,kf(x)?g(x)恒成立，?F(0)?2k?2?0,?k?1 ----------------------8分
F?(x)?2kex(x?1)?2kex?2x?4?2(x?2)(kex?1)， ----------------------9分
?x??2，由F?(x)?0得ex?111,?x?ln；由F?(x)?0得x?ln kkk11∴F(x)在(??,ln]单调递减，在[ln,??)单调递增 ----------------------10分
kk12①当ln??2，即k?e时，F(x)在[?2,??)单调递增，
k2F(x)min?F(?2)??2ke?2?2?2(e2?k)?0，不满足F(x)min?0. ----------------11分
e1222② 当ln??2，即k?e时，由①知，F(x)min?F(?2)?2(e?k)?0，满足
keF(x)min?0. ---------------12分
③当ln111??2，即1?k?e2时，F(x)在[?2,ln]单调递减，在[ln,??)单调递增 kkk1F(x)min?F(ln)?lnk(2?lnk)?0，满足F(x)min?0.
k2综上所述，满足题意的k的取值范围为[1,e]. ----------------------13分