20．解：（1）?an?11? an411，公比为的等比数列， 44∴数列{an}是首项为
1n4（2）?bn?3log1an?2 ………………………………………………………3分
4∴an?()(n?N*).……………………………………………………………2分
∴bn?3log1()?2?3n?2.………………………………………………4分
414n∴b1?1，公差d?3
∴数列{bn}是首项b1?1，公差d?3的等差数列. ………………………5分 （3）由（1）知，an?(),bn?3n?2(n?N*)
14n
1n4112131n?11n∴Sn?1??4?()?7?()???(3n?5)??)?(3n?2)?(),
44444于
∴cn?(3n?2)?(),(n?N*). ……………………………………………6分
是
111111Sn?1?()2?4?()3?7?()4???(3n?5)??)n?(3n?2)?()n?1444444
……………………10分
两式相减得
311111Sn??3[()2?()3???()n]?(3n?2)?()n?1 44444411??(3n?2)?()n?1. …………………………………………1224
分
∴Sn?
21．解：（1）依题意：
由e?212n?81n?1??()(n?N*). ……………………………………………14分 3343?1 ∴a?3. …………………………………………1分 2ac6，得c?2. ……………………………………………………2分 ?a3222 ∴b?a?c?1.…………………………………………………………………3分
x2?y2?1. ……………………………………………………4分 ∴所求椭圆方程为3（2）设M,N坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)
将y?kx?m代入椭圆方程，整理得：
(3k2?1)x2?6km?x3(m2?1)?0………………………………………6分
∴??36k2m2?12(3k2?1)(m2?1)?0（*） ………………………………8分
x1?x2??6km
3k2?16km?2
3k2?1 要令P(1,n)为M,N中点，则 x1?x2?2，∴?3k2?1 ?k?0 ∴m?? ……………………………………………………9分
3k 代入（*）得：
2(3k2?1)2(3k?1)2 36k??12(3k?1)[?1]?0 ………………………10分 229k9k(3k2?1)2?9k22?0 (3k?1)?3?9k29k4?3k2?12?0 (3k?1)?3k29k4?3k29k4?3k2?1??0 223k3k 6k2?1?0…………………………………………………………12分
22 ∴k?66或k??. ……………………………………………13分 6666)?(,??).……………………………14分 66∴k的取值范围是(??,?22．解：（1） f?(x)?ax?1.……………………………………………2分 2axx?1?1?，其中x?,e?， 2?x?e?（2）当a?1时，f?(x)?而x??,1?时，f?(x)?0；x??1,e?时，f?(x)?0，
?1??e?∴x?1是f(x)在?,e? 上唯一的极小值点， ………………………………4分
e?1???∴ ?f(x)?min?f(1)?0. …………………………………………………5分
又f???f(e)?e?2??1??e?1?ee(e?2)?1?1??0， ………………………6分 ee?1??e?∴f???f(e)， ∴?f(x)?max?f???e?2 .……………………………7分 综上，当a?1时，
?1??e??1?f(x)在?,e? 上的最大值和最小值分别为e?2和0. ………………………8分
?e?（3）若a?1时，由（2）知
f(x)?1?x?lnx在?1,???上为增函数，……………………………………10分 xn，则x?1，故f(x)?f(1)?0，……………………12n?1当n?1时，令x?分
即f??n???n?1??1?nn?1?lnn??1?lnn?0， nn?1nn?1n?1∴ln
n1?. ………………………………………………………………14分 n?1n