1．某灌溉水库可控制甲、乙两地区（图1），其耕地面积分别为11万亩及20万亩。由于两地自然条件及群众种植习惯上的差异，设计年采用了不同的综合毛灌溉定额和产值，如下表1所示。
已知设计年渠道最大引水流量出现在7月份，该时期甲、乙两地的毛灌溉水
定额分别为30m3/亩及90m3/亩，要求在6天内灌完全部面积。
已知设计年水库来水总量为14500万m3。渠首及干渠设计流量为23.14m3/s。
问该水库兴建后，甲、乙两地灌溉面积为多少时，总产值最高？
表 1 灌区综合毛灌溉定额和产值 水库 泄水 甲 地 区 甲 乙 650 设计年综合毛灌溉定额（m3/亩） 500 灌溉后每亩产值（元/亩） 乙
图1 水库向甲、乙两地供水示意图
145.5 203.7
解：设甲、乙两地刚刚面积分别为x1，x2万亩时，总产值最高。 （1）建立数学模型
目标函数 Max Z=145.5x1+203.7x2 约束条件 500x1+650x2≤14500
30x1+90x2≤23.14*6*24*3600/10000=1199.5776 x1≤11 x2≤20 x1，x2≥0
（2）用单纯形法求解
引入剩余变量x3，x4，x5，x6将原规划转化为标准形式： 目标函数 Max Z=145.5x1+203.7x2 约束条件 500x1+650x2+x3=14500 30x1+90x2+x4=1199.5776 x1+x5=11 x2+x6=20 x1，x2≥0
用单纯形表计算如下： cj 145.5 203.7 0 0 0 迭代 次数 ci 基底 b x1 x2 x3 x4 x5 0 x3 14500 500 650 1 0 0 0 x4 1199.58 30 90 0 1 0 1 0 x5 11 1 0 0 0 1 0 x6 20 0 1 0 0 0 Zj-cj -145.5 -203.7 0 0 0 0 x3 5836.38 283.33 0 1 -7.22 0 203.7 x2 13.3286 0.3333 1 0 0.011 0 2 0 x5 11 1 0 0 0 1 0 x6 6.67136 -0.333 0 0 -0.01 0 Zj-cj -77.6 0 0 2.263 0 0 x3 2719.72 0 0 1 -7.22 -283.3 203.7 x2 9.66197 0 1 0 0.011 -0.333 3 145.5 x1 11 1 0 0 0 1 0 x6 10.338 0 0 0 -0.01 0.3333 Zj-cj 3568.64 0 0 0 2.263 145.17 根据计算结果，当x1=11，x2=9.66时，总产值达到最高为3568.64万元。 2．现有水利投资5600万元，拟开发甲、乙、丙三个灌区，要求开发的总田亩数大于500万亩，各灌区的自然经济情况下见表2所示，问投资应如何分配，可使三个灌区开发的总效益为最大？
表2 各灌区的自然经济情况表
项 目 灌 区 甲 乙 丙 宜灌面积（万亩） 150 200 250 0 x6 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 θi 22.31 13.33 20 20.6 39.99 11 单位灌溉面积的投资额（元/亩） 10 15 8 单位灌溉面积的净效益（元/亩） 20 40 14
解：假设甲、乙、丙灌区灌溉面积分别为x1，x2，x3万亩。则这个线性规划问题的数学模型可以写成：
目标函数 maxz?20x1?40x2?14x3
约束于
10x1?15x2?8x3?5600
x1?x2?x3?50 0 x1?15 0 x2?20 0 x3?250
x1?0，x2?0，x3?0 运用MATLAB进行求解，程序输入如下： f= -[20; 40; 14]; A=[10 15 8;-1 -1 -1]; b=[5600;-500]; LB =[0,0,0]; UB=[150;200;250];
[x,fval] = linprog(f,A,b, [],[] ,LB,UB) 得到输出结果如下： x =
100.0000 200.0000 200.0000 fval =
-1.2800e+004
故甲、乙、丙三个灌区投资分别为1000万元，3000万元，1600万元时总效益最大；最大效益为12800万元。 3．用线性逼近法求解[从（4，6）点开始]
Maxf（x）=3x1+2x2 约束于g1（x）=x12-6x1+x2≤0
g2（x）=x12+x22-80≤0
x1≥3 x2≥2
解： ①取初始可行点X(0)?(4,6)T ,f(X(0))?24
②将目标函数和约束函数在点X(0)处按泰勒级数展开，得近似线性规划问题
（X(0))?3X1?2X2 Maxf(0))?2X1?X2?16?0 约束于 g（1X(0))?8X1?12X2?132?0 g（2X(0) g（)?3?X1?0 3X~~~~(0))?2?X2?0 g（4X~(1)T~(1)~用单纯形法求解该线性规划问题的最优解X?(3.75,8.5)。X点对近似
规划是可行的，但对原问题却不可行。为使其可行，建立约束条件，
X(1)i?X(0)i??(0)i,i?1,2，从X(0)?(4,6)到XT~(1)X2增大，?(3.75,8.5)T时X1减小，
(0)任取?1(0)?0.2，?2?0.5 从而得到X(1)?(4?0.2,6?0.5)T?(3.8,6.5)T，X(1)点
在可行域内是可行的，此时f(X(1))?24.4>24,有所改善。
③再在X(1)?(3.8,6.5)T作线性展开，得
（X(1))?3X1?2X2 Maxf(1))?1.6X1?X2?14.44?0 约束于g（1X(1))?7.6X1?13X2?136.69?0 g（2X(1))?3?X1?0 g（3X~~~~(1))?2?X2?0 g（4X~(2)T~(2)~用单纯形法求解该线性规划问题的最优解X似规划是可行的，但对原问题却不可行。由X(1)?(3.87,8.25)。X~(2)点对近
与X对比可知，应使X1 ，X2(1)都增大，取?1(1)?0.05，?2?0.5，从而得到
X(2)?(3.8?0.05,6.5?0.5)T?(3.85,7.0)T，X(2)点在可行域内是可行的，此时f(X(2))?25.55>24.4,有所改善。
④再在X(2)?(3.85,7.0)T作线性展开，得
（X(2))?3X1?2X2 Maxf(2))?1.7X1?X2?14.8225?0 约束于g（1X(2))?7.7X1?14X2?143.8225?0 g（2X(2) g（X)?3?X1?0 3~~~~(2))?2?X2?0 g（4X~(3)T~(3)~用单纯形法求解该线性规划问题的最优解X规划是可行的，但对原问题却不可行。由X(2)X?(3.96,8.09)。点对近似
与X~(3)对比可知，应使X1，X2都
增大，取?1(2)?0.1，从而得到X(3)?(3.85?0.1,7.0?0.5)T?(3.95,7.5)T，?2(2)?0.5，
X(3)点在可行域内是可行的，此时f(X(3))?26.85>25.55,有所改善。
⑤再在X(3)?(3.95,7.5)T作线性展开，得
（X(3))?3X1?2X2 Maxf(3))?1.9X1?X2?15.6025?0 约束于 g（1X(3))?7.9X1?15X2?151.8525?0 g（2X(3))?3?X1?0 g（3X~~~~(3))?2?X2?0 g（4X~(4)~(4)~用单纯形法求解该线性规划问题的最优解X似规划是可行的，但对原问题却不可行。由X都
增
大
，
取
(3)?(3.99,8.02)。X~(4)T点对近
与X对比可知，应使X1，X2，
从
而
得
到
?1(3)?0.04，
?2(3)?0.5