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高等数学A（二）第一次测试卷 （参考答案）
一、（4?4?，共16分）选择题：将您认为正确的答案代号填入下列表格内。
题号 1 2 3 4 答案 B A B D 二、（4?4?，共16分）填空题： 1、mg(y2?y1) 2、
kd??8k 3、A2 x???y?24、
?1x22?y0dy?0f(x,y)dx+?1dy?0f(x,y)dx
三、（3?7?+3，共24分）计算二重积分： 1、 D：0?x?1,2x?y?x?1 2分 ??xyd???1dxx?1 2分 D0?2xxydy?12?10x[(x?1)2?4x]dx 2分 ?1242、 D：0?y?1,0?x?y 2分
?11y20dx?ey2dy??1x0dy?0eydx 3分
??1yey2dy?102(e?1) 2分 3、D：0????2,0?r?2acos? 2分 ???x2?y2d???22acos? D0 d??0 r?rdr 2分 ? ?13?20(2acos?)3 d? 2分
?169a3 1分 4、解：立体在xOy面上的投影为D22xy:x?y?1 ,x?0,y?0 (z?0) V??ydxdy 2分 x2???1?xy2?1 1分 1分 1/4
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x?y?1D2Dyd???1)d?
x2???1?x?y2?1??(1?x?y)d??D??(x?y1D2???(1?x?y)d????(x?y?1)d??D??(1?x?y)d??2?1)d?
1D2x2?y2?1??(x?yD2?2(x2???1d??y2?1??(x?y?1)d????(x?y?1)d?)
x2?y2?1x?y?1x?0x?0y?0y?0???2??/210d??0r(sin??cos?)rdr?2??4?2?11?x0dx?0(x?y?1)dy
??2?43?2?11?x?50dx?0(x?y?1)dy?2?3
四、（5?7?，共35分）计算曲线、曲面积分： 1、解：法一：ds?(x?)2?(y?)2dt?(?asint)2?(acost)2dt?adt 3分 原式=
?2?0 (acost)2?(asint)2?adt?2a2? 4分 法二：原式=
?2Lads?a?Lds?2a2? 7分 2、解：?直线的方向向量?s为?1,2,1?， 1分 故其参数方程为：x?t,y?2t, z?t , t 从1变到0 2分 原式??01(t)2?dt?3?t?2t?2dt?t?2t?dt 2分 0
??01 11t2dt?113t3??11. 2分 13y3、解：设O(0,0),
A(1,1),B(1,0)连接AB,BO则L,AB,BO围区域D LADB 0 1 x 2/4
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?P?x2-y Q?x?sin2y
??P?Q?Q?P??1 ?1, ??2 2分 ?y?x?x?y(x2?y)dx?(x?sin2y)dy????2dxdy??D
??2L?AB?BO 2分 ??(x2?y)dx?(x?sin2y)dy??L?2??(x2?y)dx?(x?sin2y)dy??(x2?y)dx?(x?sin2y)dyBAOB ?BA:x?1,dx?0,y:0?1 , 1分 10??(x2?y)dx?(x?sin2y)dy??(1?sin2y)dy?BA31?sin2 24 ?OB:y?0,dy?0,x:0?1，
111??(x2?y)dx?(x?sin2y)dy??(x2?0)dx?x30OB3原式??01 1分 3??2?311?111?sin2?????sin2 1分 2432644、解：u(x,y)??x2dx??(x2?2xy?y2)dy 3分 00xyxy1313x3122 ?x?(xy?xy?y)??x2y?xy2?y3 4分 3033305、解：?在xOy面上的投影为Dxy 即为：0?:x?y?1 (z?0)
x?1,0?y?1?x 2分 22dS?1?zx?zydxdy?3dxdy 2分 11?x11dS?3dx???(1?x?y)2?0?0(1?x?y)2dy 1分 11?11?3?dx??3?(-) dx0(1?x??y)021?x011?x3?1???3?x?ln(1?x)????3ln222??0五、 解：在L包围的区域内作顺时针方向的小圆周
1 2分 L1:x??cos?,y??sin?,?变化从2?到
0 1分
3/4
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在L与L1包围的区域D上，
?Px2?y2?Q 由格林公式，有 2分 ?? ?222?y?xx?y???Q?Pydx?xdy?( ?L?L12(x2?y2)??D?x??y)dxdy?0 1分 2??sin??(??sin?)??cos???cos?ydx?xdyydx?xdy?d? ??2?L2(x2?y2)?L12(x2?y2)?02????2?011 d????222????0 1分 1?y2f(xy)x六、解： ?P? Q?2[y2f(xy)?1]
yy ?P1?Q?f(xy)?xyf?(xy)?2?(y?0) 2分 ?y?xyoyB(1,2)A(3,2/3)C(1,2/3)?在沿负y轴剪开的域中，积分与路径无关.取路径如图，
x?Pdx?Qdy??LACPdx?Qdy??Pdx?Qdy
CB222123421??[1?f(x)]dx??[f(y)?2]dy??3??f(x)dx??f(y)dy?1
2/3322/333393y1 t?2/32/32x ?4??f(t)dt??f(y)dy??4 2分 223 4/4