确定因素集
设评判对象具有n 种属性,把影响评判对象的每一属性称为一个因素, n 个因素组成集合称为因素集。令总目标的因素集为A ,即A = ( B1 ,B2 , ??, Bn) (此模型中n = 3) , Bi ∩Bj =φ( i ≠j) ;各一级指标的因素集为Bk ,即Bk = ( Ck1 , Ck2 , ??,Ckmk ) ( mk为第k 个一级指标的二级指标数) ( k =1 ,2 , ?, n) 。
确定评语集
模糊综合评价结果一般是用一个模糊集V表示,各评价结果组成的分明集称为评语集,文中 指方案层组成集合, 记V = ( V1 , V2 , ??, Vi , ??Vm) , Vi 表示第i 个方案。 指标体系权重的确立
为确立各因素的权重,可采用直接评分法、功能评分法、二项系数法、AHP 法或DELPHI 等方法。设A = ( B1 , B2 , ??Bi , ??, Bn) 的权重为W =( W1 , W2 , ??, Wi , ??,
nWn) ( Wi为因素Xi在X 中的比重) ,0 ≤Wi ≤1 , ?Wi?1 , Bk = ( Ck1 ,
i?1Ck2 , ??,Cki , ??, Ckmk) , 相应权重为Wk = ( Wk1 , Wk2 , ??, Wki , ??, Wkmk)
mk( Wki为指标Cki在Bk中的比重)， 0?Wki?1,?Wki?1，k = 1 ,2 ,??, n。
i?1隶属度及模糊评判矩阵的确定
定出Xk的每个因素Ckj对于m 个评判集的隶属度( rkj1 , rkj2 , ?, rkjm) , mk个因素的隶属度可用mk ×m 阶模糊评判矩阵Rk表示。确定rkji :由s个专家组成评判组, 其权向量W =
s( W1 , W2 , ?,Wi , ?, Ws) , ?Wi?1, 每人针对评判集给Bk的每个因素Ckj一个评定值
i?1sr(t)ji?[0,1](t?1,2,?,s),对所有专家的评定值进行如下加权处理:rkji??Wi?ri?1(t)ji,由
此可得到Bk的模糊评判矩阵Rk
?rk11?rk21Rk?rji?m??k????rkmk1(k?1,2,?i,?,n)rk12rk22?rkmk2????rk1m??rk2m?? ??rkmkm?
模糊评判 一级评判
先由最低层指标开始,以Bk的二级指标的权重向量Wk与其模糊评判矩阵Rk进行模糊矩阵合成运算,可得出对Bk的二级指标集的判断向量
Pk?Wk*Rk?(pk1,pk2,?,pkm)(k?1,2,?,i,?,n)
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这里*代表模糊合并运算算子,可根据实际情况选择主因素决定型、主因素突出型、加权平均型等。 二级评判
由一级评判得到的判断向量Pk构造新的评判矩阵P:
?P1??W1*R1?????P2W2*R2?????(p) P??ikn?m??????????PnWn*Rn????利用一级指标的权重向量W与P进行模糊矩阵合并运算,得到A对评判集的隶属向量Q:
Q?W*P?(q1,q2,?,qm)
综合评判
结果对Q作归一化处理, 得到Q'?(q1',q2',?,qm'),运用最大隶属度原则确定评判结果,
qi'?max(q1',q2',?,qm'),则评判结果为第i个方案。
五、模型应用
陕西某考生高考预估成绩为640分，估计最低分625，估计最高分为650分。想在西安交通大学、南开大学、天津大学中选择一个学校报考。 （一）录取可能性分析
该考生采用2004年的高考重点线与最高分进行标准化。
得到 f? fm fm所以 ?'f'ax'640?715???650?715?625?715?562?1.5?500+500=8 82.35562562?1.5?500+500=9 31.37562562?1.5?500+500=8 08.82562'in?fmax?fmin4''?931.37?808.824?30.6375
考查以上三个学校往年在陕西的情况
学校 招生人数 录取线均值 录取线标准差 平均分均值 平均分标准差 西安交大 复旦大学 天津大学 1010 704.41 23 881.31 41 742.25 75.3 112.92 121.82 849.76 998.1 865.99 31.77 96.224 63.146 首先考查录取的可能性， 报考西安交大：??F?Q?177.94 ??''?2f??q?230.637?5275?.3281.29
化为标准正态分布为：
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z? 所以
x???
P(x?0)?P(z?0?177.9481.92)?P(z??2.172)??(2.172)?0.983
同理，对于复旦大学：
??F'?Q'?1.04 ???2f??q?230.637?52112?.932 117.0 化为标准正态分布为： P(x?0)?Pz(? 对于天津大学：
??F'?Q'?140.1 ??0?1.04?)Pz?(?1170.?0?1)(?0.01) 0.5040?2f??q?230.637?52121?.822 125.6 化为标准正态分布为： P(x?0)?P(z?0?140.1)?P(z??1.115?)?125.6(1.1?15)
0.8686如果某学生希望挑选该学校较好的专业，则必须知道各个专业的录取情况，但各专业的
录取情况波动更大，所以常常希望通过能否达到平均分来判定。
对录取平均分的分析与录取分数线的分析类似，只是均值和方差用平均分的数据带入。 对于以上三所大学分别计算得到 西安交大：??F'?A'?32.59 ???2f??a?230.637?5231.?772 44.14(0.73?83 )0.7703 P(f?a?0)?P(z?''0?32.59)?P(z??0.7383?)?44.14复旦大学：??F?A??115.75 ???2f??a?230.637?5296.?22 1011.1?46?)?1(?1.146)
0.13142 P(f?a?0)?Pz(?天津大学：??F?A?16.32 ??''0?(?115.75)?)Pz?(101?2f??a?230.637?5263.1?46 70.1(0.23?3)
0.59102 P(f?a?0)?P(z?0?16.32)?P(z??0.233?)?70.1以上分析了考生成绩高于某校录取成绩、平均成绩的概率，总结如下：
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报考大学 西安交通大学 复旦大学 天津大学 录取概率 0.983 0.5040 高于平均分概率 0.7703 0.1314 0.8686 0.5910 以上是该考生录取概率的分析，下面，我们用基于模糊判决的层次分析法，来决定最适合该考生的院校。 （二）院校选择：
那么对于该考生可以报考上述三所院校，他又该作何选择呢？
根据该考生的具体情况，针对这三所院校，我们假设是下面三个向量是对它们的评语集 学校 兴趣C1 专业难易2 家长C3 老师C4 声誉C5 专业C6 位置C7 西安交大 0.4 复旦大学 1 0.6 0.4 0.9 0.4 0.1 0.8 0.5 0.7 0.9 0.65 0.5 0.3 0.6 0.6 0.9 0.6 天津大学 0.5 0.2 0.5 下面三幅图是复旦大学对因素层的分析：
图4 个人因素的影响
图5 他人因素的影响
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图6 社会因素的影响
对于该考生，他看重所报院校的声誉，可以将B3权重较大，设定为0.7，B1、B2类似。假定其影响向量为：[0.2 0.1 0.7]，其方案为： 方 案 V1 V2 V3 由此表可见，选择V2甚好。 结合概率分析，得： 学校 录取概率p1 模糊判决p2 w1=0.5 西安交大 复旦大学 天津大学 0.983 0.5040 0.67058 0.8866 w2=1 1.1621 1.1386 加权和s w1=0.1 w2=1 0.7689 0.9370 0.479 0.5 0.75 0.893 0.64 0.92 0.328 0.5 0.76 0.67058 0.8866 0.6476 学 生 0.2 0.1 0.7 判断结果 0.6476 0.8686 1.0819 0.7345 s=p1*w1+2*w2 （w1 称为稳健系数）
从上表，可以得出，稳健系数w1越小，表明该考生在志愿填报上希望考上更好的院
校，属于“志愿激进派”。稳健系数w1越大，说明，该考生趋于保守，更宁愿被差一点的高校录取，以降低落榜风险。
六、给考生的建议：
通过模型的建立以及对实例的分析我们可以看出，在高考填报志愿的过程中，估分的作用十分的关键。所以考生应该花大力气认真估分。对学校往年招生信息的收集同等重要，它可以使得我们较准确的把握今年可能的录取分数。这两步基本完全决定了考生志愿的填
报。而人为的主观倾向反而容易误导考生，冒进和保守都不利于达到最优的选择。要认真分析各种情况，作出理性的选择。
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七、 模型的评价与推广
本模型同时使用了基于大量统计数据的概率分析模型和基于模糊判决的层次分析法，两个方法并行使用，分别得出录取可能性和学校的吸引力，然后进行综合分析。
概率分析部分通过标准化，略去了考题难易程度的影响，并经过严格的数学推导得出了录取概率的计算方法，对于普通考生只需要提供自己的估分和估分区间，即可给出他被某校录取的概率。同时在概率分析部分学生可以选择使用录取分数线或录取平均分进行判决。
基于模糊判决的层次分析法，在层次分析法的基础上引入模糊判决机制，很好地符合人的思维过程，有效地综合各种性，有很强的稳健性。
在得出最后的结果的时候，考生可以通过选择不同的比例系数，采取不同的策略。
由于数据不完全，在标准化时采用的是粗略的方法，并且在判别时由于对本次考试的情况无法准确得知，造成了误差。
此模型进行改进和推广时，应得到各个省份各年录取分段人数统计数据，从而实现精确的标准化。同时建立一个包含大量大学录取信息的数据库。而在真正用于大规模预测时，可以得到大量学生的估分数据，相信能取得较好的预测效果。
参考书目
1．周义仓 赫孝良 《数学建模试验》 西安：西安交通大学出版社 2002.7
2．盛骤、谢式千、潘承毅 《概率论与数理统计》 北京：高等教育出版社 2001.12 3、田晓皋 模糊控制原理及应用 西安：西安交通大学电信学院自动化系讲义 4、数据来源于以上各校招生网站以及人民网历年高考数据
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