2015年福建省厦门双十中学高三理科数学热身试卷
一、选择题（共10小题；共50分） 1. 若 cos??=?
A. ?2
?? 5，??5
∈ 0,π ，则 tan??= ??
B. ? 21
C.
2
1
D. 2
2. 已知 i=2?i，则在复平面内，复数 ?? 对应的点位于 ??
A. 第一象限 A. ?2,1
B. 第二象限 B. 1,4
1 2π????C. 第三象限 C. 2,3
?e
?
2
??????? 2??2??
D. 第四象限 D. ?1,0
3. 已知集合 ??= ??∈?? ???1 <3 ，??= ?? ??2+2???3≥0 ，则 ??∩?????= ??
4. 已知三个正态分布密度函数 ???? ?? =
??∈??,??=1,2,3 的图象如图所示，则 ??
A. ??1??3 C. ??1=??2
?? ??? ?? 成立，那么实数 ?? 的最小值为 ??
B. ??1>??2=??3，??1=??2
和实数 ??∈ 0,1 ，如果满足 ?? 5. 设 ??∈??，对任意的向量 ?? ，?? =?? ??? ????? ?? ，则有 ?? ≤
A. 1 C.
??+1+ ???1
2
B. ??
D.
??+1? ???1
2
6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ??
A. 6
5
B. 3
2
C. 2
1
D. 6
1
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7. 已知命题 ??：设 ??,??∈??，则“??+??>4”是“??>2 且 ??>2”的必要不充分条件；命题 ??：
2
“???0∈??，使得 ??0???0>0”的否定是：“???∈??，均有 ??2???<0”；在命题①??∧??；
② ??? ∨ ??? ；③??∨ ??? ；④ ??? ∨?? 中，真命题的序号是 ??
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
8. 如图，把圆周长为 1 的圆的圆心 ?? 放在 ?? 轴上，顶点 ?? 0,1 ，一动点 ?? 从 ?? 开始逆时针绕圆运 =??，直线 ???? 与 ?? 轴交于点 ?? ??,0 ，则函数 ??=?? ?? 的图象大致为 ?? 动一周，记 ????
A. B.
C. D.
9. 设双曲线
??2??
2?
??2??2
=1 ??>0,??>0 的右焦点为 ?? ??,0 ，方程 ????2+???????=0 的两实根分别为
B. 必在圆 ??2+??2=2 外 D. 以上三种情况都有可能
??1，??2，则 ?? ??1,??2 ??
A. 必在圆 ??2+??2=2 内 C. 必在圆 ??2+??2=2 上
10. 某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班 ?? 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号
分别为 1，2，?，??，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 ??????=
1,第??号同学同意第??号同学当选，其中 ??=1,2,?,??，且 ??=1,2,?,??，则同时同意第
0,第??号同学不同意第??号同学当选
B. ??11+??21+?+????1+??12+??22+?+????2 D. ??11??21+??12??22+?+??1????2??
1，2 号同学当选的人数为 ??
A. ??11+??12+?+??1??+??21+??22+?+??2??
C. ??11??12+??21??22+?+????1????2
二、填空题（共5小题；共25分）
??≥1,
则 ??+2?? 的最大值为 ． 11. 已知实数 ??，?? 满足不等式组 ??≥0,
??+??≤3,12. 执行程序框图，该程序运行后输出的 ?? 的值是 ．
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13. 若 ?? ?? =cos??+3∫0?? ?? d??，则 ∫0?? ?? d??= ．
14. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则二项式 +
????
展开式中的常数项为 ．
??
??4
11
15. 已知 2??+1 ??=??0+??1??+??2??2+?+????????，令 ??=0 就可以求出常数，即 ??0=1，请研究
∞????23
其中蕴含的解题方法并完成下列问题：若 e??= +??=0??????，即 e=??0+??1??+??2??+??3??+
??4??4+?+????????+?，则
1
??1
+
2??2
+
3??3
+?+
??????
= ．
三、解答题（共8小题；共104分）
16. 已知两直线 ??1:??cos??+2???1=0；??2:??=??sin ??+6 ，△?????? 中，内角 ??，??，?? 对边分别为
??，??，??，??=2 2，??=4，且当 ??=?? 时，两直线恰好相互垂直； （1）求 ?? 的值；
（2）求 ?? 和 △?????? 的面积．
17. 甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销
售的主流纯电动汽车，按行驶里程数 ??（单位：公里）可分为三类车型，A：80≤??<150，B：150≤??<250，C：??≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：
车型概率??人
甲乙
若甲、乙都选C类车型的概率为 10．
3
1
π
A15BC??14?? 34第3页（共13页）
（1）求 ??，?? 的值．
（2）求甲、乙选择不同车型的概率．
（3）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：
车型
补贴金额 万元/辆
ABC3
4
5
记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为 ??，求 ?? 的分布列．
18. 如图，已知直线 ?? 与抛物线 ??2=4?? 相切于点 ?? 2,1 ，且与 ?? 轴交于点 ??，定点 ?? 的坐标为
2,0 ．
? =0，求点 ?? 的轨迹 ?? 的方程； （1）若动点 ?? 满足 ????????+ 2 ????
（2）设椭圆 ?? 的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线 ??：??=????+?? ??≠0,??≠0 与轨迹 ??
交于 ??，?? 两点，且与椭圆 ?? 交于 ??，?? 两点．若线段 ???? 与线段 ???? 的中点重合，求椭
圆 ?? 的离心率．
19. 已知 △?????? 中，∠??????=45°，??，?? 为定点且 ????=3，?? 为动点，作 ????⊥???? 于 ??（异于点
??），如图 1 所示．将 △?????? 沿 ???? 折起，使 平面??????⊥平面??????，连接 ????，如图 2 所示．
（1）求证：????⊥????；
（2）当三棱锥 ????????? 的体积取得最大值时，求线段 ???? 的长；
（3）在（Ⅱ）的条件下，分别取 ????，???? 的中点为 ??，??，试在棱 ???? 上确定一点 ??，使得
????⊥????，并求此时 ???? 与平面 ?????? 所成角的大小．
20. 已知函数 ?? ?? =??e??+????2???（??∈??，e 为自然对数的底数，且 e=2.718…）．
（1）若 ??=?，求曲线 ??=?? ?? 在点 1,?? 1 处的切线方程；
21
（2）若对于 ??≥0 时，恒有 ??? ?? ??? ?? ≥ 4??+1 ?? 成立，求实数 ?? 的取值范围；
（3）当 ??∈??? 时，证明：
e?e??+11?e
≥
?? ??+3 2
．
21. 如图，矩形 ???????? 在变换 ?? 的作用下变成了平行四边形 ???????????，变换 ?? 所对应的矩阵为 ??，
矩阵 ?? 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标伸长到原来的 3 倍的变换所对应的矩阵．
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（1）求矩阵 ??，??；
（2）直线 ?? 先在矩阵 ??，再在矩阵 ?? 所对应的线性变换作用下像的方程为 ??+??+1=0．求直
线 ?? 的方程．
22. 已知椭圆 ??：4+
??2
??23
=1，以坐标原点为极点，?? 轴正半轴为极轴建立极坐标系（取同样单位长
π
9
度），直线 ?? 的极坐标方程为 ??cos ??+3 =?2． （1）写出椭圆 ?? 的参数方程及直线 ?? 的直角坐标方程；
（2）求椭圆 ?? 上的点 ?? 到直线 ?? 的距离的最大值．
23. 已知函数 ?? ?? = ??+1 + ????? ?5 ??>0 的定义域为 ??．
（1）求实数 ?? 的取值范围；
（2）若 ??,??∈??，且 ??+??+??=4，??2+??2+??2=16，求实数 ?? 的值．
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