答案
第一部分 1. A
【解析】因为 cos??=?
π2
55
<0，??∈ 0,π ，
所以 ??∈ ,π ， 所以 sin??= 1?cos2??=则 tan??=2. D
sin??cos??
2 55
，
=?2．
??i
【解析】由 =2?i，得 ??= 2?i i=1+2i，
所以 ??=1?2i，
则复数 ?? 对应的点的坐标为 1,?2 , 位于第四象限． 3. D
4. D
【解析】正态分布密度函数 ??2 ?? 和 ??3 ?? 的图象都是关于同一条直线对称，所以其
平均数相同，故 ??2=??3，又 ??2 ?? 的对称轴的横坐标值比 ??1 ?? 的对称轴的横坐标值大，故有 ??1
时，可得向量 ?? 均为零向量，不等式成立； 【解析】当向量 ?? =?? ，??
≤?? ?? ，有 ??≥?? 恒成立，由 ??≤1，可当 ??=0 时，有 ?? = 0，则 ????? ??? ?? ≤?? ?? ，即为 ?? ??得 ??≥1；
??
当 ??≠0 时，?? ≠ 0，由题意可得 ?? ?????≤???? ???= ?? ，
??
????? ????
> ?? ，由 ?? ≤ ?? < ??当 ??>1 时， ?? =?? ?? ??? ??? ????? ??? ，可得 ≤1，所以 ≥1，
??
??
即 ??≥??．所以 ?? 的最小值为 6. A
??+1+ ???1
2
．
【解析】根据几何体的三视图，该几何体是一棱长为 1 的正方体，去掉一三棱锥 ?????????，如
图所示．
所以该几何体的体积是 ??=13?3×2×12×1=6． 7. C
【解析】命题 ??：设 ??,??∈??，由 ??>2 且 ??>2???+??>4，反之不成立，例如 ??=1，
??=5，因此“??+??>4”是“??>2 且 ??>2”的必要不充分条件，是真命题；
2
命题 ??：“???0∈??，使得 ??0???0>0”的否定是：“???∈??，均有 ??2???≤0”，因此是假命题．可得：
115
①??∧?? 是假命题；② ??? ∨ ??? 是真命题；③??∨ ??? 是真命题；④ ??? ∨?? 是假命题．因此真命题为：②③．
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8. D 【解析】当 ?? 由 0→ 时，?? 从 ?∞→0，且单调递增，变化速度先快后慢，
2
1
1
当 ?? 由 2→1 时，?? 从 0→+∞，且单调递增，变化速度先慢后快， 所以排除 ??，??，??． 9. B 所以
22??1+??2
【解析】因为 ??1+??2=???，??1???2=???，
= ??1+??2 2?2??1??2
??22??=2+????2
??+2????= ??2??2???2+2????=
??2=??2+2???1>2,
????
所以 ?? ??1,??2 必在圆 ??2+??2=2 外． 10. C
【解析】第 1，2，?，?? 名学生是否同意第 1 号同学当选依次由 ??11，??21，??31，?，????1 来确定（??????=1 表示同意，??????=0 表示不同意或弃权），是否同意第 2 号同学当选依次由 ??12，??22，?，????2 确定，
而是否同时同意 1，2 号同学当选依次由 ??11??12，??21??22，?，????1????2 确定， 故同时同意 1，2 号同学当选的人数为 ??11??12+??21??22+?+????1????2． 第二部分 11. 5
【解析】作出不等式对应的平面区域，
令 ??=??+2??，得 ??=???+，平移直线 ??=???+，由图象可知当直线 ??=???+ 经过点 ?? 时，
2
2
2
2
2
2
1??1??1??
直线的截距最大，此时 ?? 最大．
??=1,得 ??=1, 即 ?? 1,2 ， 由 ??+??=3??=2,此时 ??max=1+2×2=5． 12. 4
【解析】执行程序框图，可得 ??=0，??=0， 满足条件 ??<100，??=1，??=1， 满足条件 ??<100，??=3，??=2，
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满足条件 ??<100，??=11，??=3， 满足条件 ??<100，??=2059，??=4，
不满足条件 ??<100，退出循环，输出 ?? 的值为 4． 13. ?2sin1
【解析】令 ?? ?? =∫?? ?? d??，则 ∫0?? ?? d??=?? 1 ??? 0 ， 因为 ?? ?? =∫?? ?? d??=sin??+3?? ?? 1 ??? 0 +??， 所以 ?? 1 =sin1+3 ?? 1 ??? 0 +??，?? 0 =??， 所以 ?? 1 ??? 0 =sin1+3 ?? 1 ??? 0 ， 所以 ?? 1 ??? 0 =?sin1，
21
1
1
1
所以 ∫0?? ?? d??=?? 1 ??? 0 =?sin1．
2
1
14.
1283
32+342
【解析】乙的中位数为
27+33+39
=33，
则甲的中位数为 33，即 ??=3， 甲的平均数为
3
20+??+32+34+38
4
=33，
=33，
??29
则乙的平均数为 解得 ??=8，
则二项式为 + ????15. ??+1 !?1
??
??4
282
2??
展开式中的常数项为 C4
3??
=6××
64??2=
1283
．
【解析】对 e??=??0+??1??+??2??2+??3??3+??4??4+?+????????+?， 两边求导：e??=??1+2??2??+3??3??2+4??4??3+?+???????????1+?， 令 ??=0 得：??1=1?
1
1??1
=1，
1
再两边求导：e??=2×1??2+3×2??3??+4×3??4??2+?+??× ???1 ?????????2+?． 令 ??=0 得：??2=1×2???=1×2=2!，
2
再两边求导：e??=3×2×1??3+4×3×2??4??+?+?? ???1 ???2 ?????????3+?， 令 ??=0 得：??3=1×2×3???=1×2×3=3!，
3
11
?
归纳可得 ????=
??
??
11×2×3×?×??
?
1????
=1×2×3×?×??=??!，
所以 ??=??×??!= ??+1 ?1 ??!= ??+1 !???!， 所以
123??
+++?+??1??2??3????
= 2!?1! + 3!?2! +?+ ??+1 !???! = ??+1 !?1.
第三部分
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16. （1） 当 ??=?? 时，直线 ??1:??cos??+???1=0；??2:??=??sin ??+ 的斜率分别为 ??1=?2cos??，
26??2=sin ??+ ，
6因为两直线相互垂直，
所以 ??1??2=?2cos??sin ??+ =?1，即 cos??sin ??+ =，
662整理得：cos?? 2sin??+2cos?? =2，即 2sin??cos??+2cos2??=2， 化简得：4sin2??+所以 6<2??+6<所以 2??+6=
π
5π
π
π
31+cos2??
4
31
1
31
1
π
π
1
π
1π
=2，即 2sin2??+2cos2??=sin 2??+6 =2，
1 31π1
因为 0
13π6
，
π
，即 ??=3． 6
π
π
（2） 因为 ??=2 3，??=4，??=3，
所以由余弦定理得：??2=??2+??2?2????cos3，即 12=??2+16?4??， 解得：??=2，
则 ??△??????=2????sin??=2×4×2×
3
3
1
1
32
=2 3．
??=10,417. （1） 由题意可知 1
??+??+5=1,解得 ??=，??=．
5
5
2
2
（2） 设“甲、乙选择不同车型”为事件 ??， 则 ?? ?? =5+5×4+5×4=5， 所以甲、乙选择不同车型的概率是 ．
53
1
2
1
2
3
3
（3） ?? 可能取值为 7，8，9，10． ?? ??=7 =5×4=20， ?? ??=8 =5×4+5×4=4， ?? ??=9 =5×4+5×4=5， ?? ??=10 =5×4=10． 所以 ?? 的分布列为：
????
18. （1） 由 ??2=4?? 得 ??=??2，
41
12
2
3
3
2
1
2
3
2
1
3
2
1
1
1
1
1
789101123 204510所以 ???=??，
所以直线 ?? 的斜率为 ??? ??=2=1，故 ?? 的方程为 ??=???1，所以点 ?? 的坐标为 1,0 ．
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