??1???6?20??或 T???2?????，算子对向量的作用以相应的矩阵对向量的左乘表???1????242??????示。］
第三部分
1. 高等代数基本定理
设K为数域。以K[x]表示系数在K上的以x为变元的一元多项式的全体。如果f(x)?a0xn?a1xn?1?......?an?K[x],(a0?0)，则称n为f(x)的次数，记为degf(x)。
定理（高等代数基本定理） C[x]的任一元素在C中必有零点。
命题 设f(x)?a0xn?a1xn?1?......?an,(a0?0，n?1)是C上一个n次多项式，a是一个复数。则存在C上首项系数为a0的n?1次多项式q(x)，使得
f(x)?q(x)(x?a)?f(a)
证明 对n作数学归纳法。
推论x0为f(x)的零点，当且仅当(x?x0)为f(x)的因式（其中
degf(x)?1）。
命题（高等代数基本定理的等价命题） 设
f(x)?a0xn?a1xn?1?......?an(a0?0，n?1)为C上的n次多项式，则它可以分
解成为一次因式的乘积，即存在n个复数a1,a2,......,an，使
f(x)?a0(x??1)(x??2)......(x??n)
证明 利用高等代数基本定理和命题1.3，对n作数学归纳法。 2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设K是一个数域，x是一个未知量，则等式
a0xn?a1xn?1?......?an?1x?an?0 （1）
（其中a0,a1,......,an?K,a0?0）称为数域K上的一个n次代数方程；如果以x???K带入（1）式后使它变成等式，则称?为方程（1）在K中的一个根。 定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域K上的n(?1)次代数方程在复数域C内必有一个根。
命题n次代数方程在复数域C内有且恰有n个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式
f(x)?a0?a1x?......?anxn(an?0)，
g(x)?b0?b1x?......?bmxm(bm?0)，
如果存在整整数l,l?m,l?n,及l?1个不同的复数?1,?2,......,?l,?l?1，使得
f(?i)?g(?i)(i?1,2,......,l?1)，
则f(x)?g(x)。
1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性
设f(x)?a0xn?a1xn?1??an，其中ai?K,a0?0。设f(x)?0的复根为?1,?2,,?n（可能有重复），则
n1f(x)??(x??i)?(x??1)(x??2)a0i?1(x??n)??1?2
?xn?(?1??2?所以
??n)xn?1??n.a1?(?1)1(?1??2????n)； a0a2?(?1)2??i1?i2； a00?i1?i2?n???????? an?(?1)n?1?2??n. a0我们记
?0(?1,?2,?,?n)?1；
?1(?1,?2,?,?n)??1??2????n；
???????? ?r(?1,?2,?,?n)?i1i20?i1?i2???ir?n?????i；
r（?1,?2,???????? ?n(?1,?2,?,?n)??1?2??n
,?n称为?1,?2,,?n的初等对称多项式）。于是有
?an，其中ai?K,a0?0。设
定理2.5 (韦达定理) 设f(x)?a0xn?a1xn?1?f(x)?0的复根为?1,?2,,?n。则
a1?(?1)1?1(?1,?2,?,?n)； a0a2?(?1)2?2(?1,?2,?,?n)； a0???????? an?(?1)n?n(?1,?2,?,?n). a0命题 给定R上n次方程
a0xn?a1xn?1?......?an?1x?an?0， a0?0，
如果??a?bi是方程的一个根，则共轭复数??a?bi也是方程的根。
证明 由已知，
a0?n?a1?n?1?......?an?1??an?0. 两边取复共轭，又由于a0,a1,......,an?R，所以
a0?n?a1?n?1?......?an?1??an?0.
高等代数试题
设??L(V),??V，并且 ?，?(?)，…，?k?1(?)都不等于零，但?k(?)?0，
证明：?，?(?)，…，?k?1(?)线性无关 答案：按线性无关的定义证明
2、令Fn[x] 表示一切次数不大于n的多项式连同零多项式所成的向量空间，
?:f(x)?f'(x)，求?关于以下两个基的矩阵： （1）1，x，x2，…，xn，
(x?c)2(x?c)n（2）1，x?c，，…，，c?F
2!n!?010?0??010?0??002?0??001?0?????答：（1）??????? （2）???????
????000?n000?1???????000?0???000?0??3、F4表示数域F上四元列空间 取 ?1?15?1??11?23?? 对于 ??F4，令 ?(?)?A? A???3?181???13?97??求 dim(ker(?))，dim(Im(?))
解：R(A)?2，取F4的一个基（如标准基），按列排成矩阵B，矩阵AB的列向量恰是这个基的象。又B?0，所以 R(AB)＝R（A）＝2 所以 dim(Im(?))＝2
dim(ker(?))?解空间的秩?4?R(A)?2 4、设F上三维向量空间的线性变换?关于基??1,?2,?3?的矩阵是
?1?2?1?3?2??3?15?115??20?158?，求关于基
?2?3?1?4?2??3 的矩阵 ?????3??1?2?2?2?3?8?76???1??231??T??342?
B?T?1AT??2??????3??112????5、令?是数域F上向量空间V的一个线性变换，并且满足条件?2??，证
?) 明：（1）ker(?)?????(?)??V? （2）V?ker(?)?Im(证明：（1）??????(?)??V，则
???(?)??(???(?))??(?)??2(?)??(?)??(?)?0，??Ker(?)
反之，??Ker(?)，?(?)?0，?????(?)?????(?)??V?
于是 ker(?)?????(?)??V?
???V,?????(?)??(?)，即V?ker(?)?Im(?) 设??ker(?)?Im(?) 由??Im(?)，有??V，使得
又 ??ker(?)，?(?)??,?2(?)??(?),因?2＝?，所以?（?）＝?（?）所以
?（?）＝0，于是?（?）＝0，即 ?＝0 所以 ker(?)?Im(?)＝0
60??4? ，求A10 6、设 A???3?50?????3?61??1，?3＝?2 解：特征值 ?1＝?2＝TTT 特征向量 ?1＝（0，，?3＝（?1， 0，1）?2＝（?2，1，0）1，1）A10?P?10P?1 P＝（?1，?2，?3） 则 P?1AP??，