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07年MBA机工版数学习题详解24 第二节 随机变量的数学特征
练 习
(第1?3题为充分性判断题)
1．P（X－EX?3DX）＝1
（ 1）X服从正态分布N（0,1） （2）X服从正态分布N（?，?2）
『解』
?1?代入，P?X-EX??2?代入,X-?3DX?2?X?3?2?????3??1?1 ???0,1?
?X-??PX-EX?3DX?P??3??2???????3??1?1 『答案』E
2.随机变量X的数学期望为0 （1）X的概率密度函数为f(x)=1e2??x?x22a2?(???0,?x??? )0?,??x?? ?)1?? (2X)的概率密度函数为f(x)=e?(?2?『解』
22
由?1?知X服从参数为0和?的正态分布，即X?N?，?，所以EX=0充分
??由?2?知EX??????xf?x?dx,因为f?x?为偶数，所以xf?x?在???,???上为奇函数，从而由对称区间
积分性质知EX=0，所以选D 『答案』D
3.D(X?Y)?D(X?Y)
(1E)X?E且YD?X DY全国十佳网校 电话号码:010-80355011/80355848 - 1 - 咨询QQ: 38780669/ 81329209
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(2X)与Y相互独立
『解』
当且仅当X，Y相互对立时，才有D?X?Y??D?X?Y?即条件?2?充分 『答案』B
4.设随机变量X的概率密度为
?1?x? f(x)??1?x?0??1?x?0?0x?其他1 则DX等于 （ ）111（A） （B） （C） （D） （1E）2642『解』
EX????01xf?x?dx??x?1?x?dx??x?1?x??dx ???10012??x?x?x?dx??x?x?x2?dx ?101?0?11?1?1??x2?x3??x2?x3??0 3??1?23?0?2??021212DX???x?EX?f?x?dx??x?1?x?dx??x?1?x??dx? ???106『答案』A
5.设随机变量X的概率密度为0?x?1?a+bx f(x)=? 其他?0又EX＝0.6，则常数a和b分别等于 （ ） 26233（A）a=, b= （B）a=, b= （C）a=0,b=555553336（D）a=, b= （E）a=,b?5555『解』
11b2?1b?fxdx?a?bxdx?ax?x?a??1 ??????0?0?022??全国十佳网校 电话号码:010-80355011/80355848 - 2 - 咨询QQ: 38780669/ 81329209
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111EX??xf?x?dx??x?a?bx?dx???ax?bx2?dx
000b?1ab?a??x2?x3????0.6
3?023?2?b?2a??1a=????52 所以?联立解得：?ab5???0.6?b???6??23『答案』A
6.设随机变量X的概率密度为0?x?1 ?2x f(x)=? 其他?0则PX－EX?2DX等于 （ ）26－4242（A） （0B） （C） （D） （E）1999『解』
??11212EX??x?2xdx??2x2dx?x3? 00303211?2?12DX???x?EX?f?x?dx???x??2xdx? 00?3?18212132?2???x?f?x?dx??EX???2xdx???
00?3?DX?E?X?2???EX?21414141x???? 2092918?21???所以PX?EX?2DX?P?X??2?
318????????2???222?2?2??????P?X????X???????1?P??? ????33?????33???33??????2?2????2?2???1?P???X?????3??3??????????全国十佳网校 电话号码:010-80355011/80355848 - 3 - 咨询QQ: 38780669/ 81329209
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2?21??????2?2??2?23P???X??2xdx??2?22xdx ??????3??3?2?2????????33?2?2??x22?2?1???3??
??312?2?2??????2?22?2???PX?EX?2DX?1?P???3???X???3????1??1?3???????????????? 2????2?2?6?42 ???3???9??『答案』C
27.设X表示10次独立重复射击中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4， 则X2的期望值是（A）10.4 （B）12.8 （C）16.4 （D）18.4 （E）36.2『解』
X服从参数为10，0.4的二项分布B?10,0.4?，则
EX?10?0.4?4,DX?10?0.4??1?0.4??2.4DX?E?X2???EX?2,E?X2??DX??EX?2?2.4?4?18.42
『答案』D
28.设随机变量X与Y相互独立，且EX＝EY＝0，DX＝DY＝1，则E??X＋Y??等于（）??『解』
（A）1 （B） （2C） （3D） （4E）52E??X?Y???E?X2?2XY?Y2??E?X2??2E?XY??E?Y2? ???E?X2??2E?X?E?Y??E?Y2?
22??DX??EX???2EXEY??DY??EY?? ??????1?02??2?0?0??1?02??2
『答案』B
9.设随机变量X概率密度函数为
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?3x20?x???3 f(x)=?? （?为待定常数）其他?0?＞）＝1，则（D2－X）等于1 若已知P（X
78 （A） （B） （C） （D） （E）
『解』
1825354578???3x2x3?1 P?X?1???f?x?dx??dx??1?33311??1?又由1?7?,得??2 3?81???3x33x4?3?43EX??xf?x?dx??dx?3?3?
??0?34?04?2??2?3x43x5?3?512EX??xf?x?dx??dx?3?3? 3??0?5?05?521293?? 54203所以D?2X-1??ADX?
5DX?EX2??EX??2『答案』C
10.某人忘记了电话号码的最后一数字，因而随机地拨号，求他接通电话所需拨号次数X的期望与方差。『解』
EX?5.5,DX?8.25 X的分布规律为：P?X?k??
1?k?1,2,?,10? 1011.同时掷两颗骰子，求出现的最大点数的期望与方差。
『解』
设X表示出现的最大点数，则?X?k?表示两颗骰子的点数均为k或其中一颗点数为k，另一颗点数不大于k?1?k?1,2,?,6?.从而
?1?1? P?X?k?????C2??6??
21??k?1k2?1??,k?1,2?, 6???6??6?36全国十佳网校 电话号码:010-80355011/80355848 - 5 - 咨询QQ: 38780669/ 81329209