在棱长为２的正方体ABCD－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，E为棱AB的中点，点P在平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１， D1D１P⊥平面PCE．试求：
P（１） 线段D１P的长；
（２） 直线DE与平面PCE所成角的正弦值；
A1 B1
D
23．（本小题满分10分） 已知an?(1?2)(n?N)
（１） 若an?a?b2(a,b?Z)，求证：ａ是奇数；
（２） 求证：对于任意n?N，都存在正整数ｋ，使得an?k?1?k．
*C1CA*nEB 6 苏北四市2011—2012学年度高三第二次质量检测
数学Ⅰ卷答案及评分标准
一、填空题：
?22231．0 2．2 3．40 4． 5．1 6． 7．2?1 8． 9． 10．2011
25829811．[7,8) 12．15 13．(3,?) 14．(26,27]
二、解答题：
ππ13?x)sin(?x)?3sinxcosx?cos2x?sin2x…………2分 4422π ?sin(2x?)， ……………………………………………………………4分
6π所以f()=1 ．………………………………………………………………………………6分
6AAππππsin(A?)1?，⑵由f()?1，有f()? 因为0?A?π，所以A??，即A?. 8分
2266232π33πsinB?sinC?sinB?sin(?B) =sinB?cosB?3sin(B?). ……12分
32232ππππE 因为0?B?，所以?B??π，0?sin(B?)≤1，
3333F 所以sinB?sinC的最大值为3．……………14分
D 16．⑴设AC?BD?O，连结FO． C
因为ABCD是正方形，所以O是BD的中点，
15．⑴f(x)?sin(∥EF因为BD?2EF，所以DO ，
O 所以四边形DOFE是平行四边形，
所以DE?OF．……………………………………5分
A
第16题图
B
因为DE?平面ACF， OF?平面AFC，所以DE?平面ACF．…………………7分 ⑵因为ABCD是正方形，所以BD?AC，因为平面ABCD?平面BDEF， 平面ABCD?平面BDEF?BD，所以AC?平面BDEF，
因为BE?平面BDEF，所以BE?AC． ……………………………………………10分
1BD，所以BF?BO，所以四边形BOEF是正方形，所以BE?OF． 12分 2因为OF?AC?O，OF,AC?平面ACF，所以BE?平面ACF． ………14分
因为BF?17．⑴因为△AOC的面积与△BOC的面积之和等于△AOB的面积，
所以x(2?6)sin45??y(2?6)sin30??xysin75?，……………………………4分
121212 7 216?222xx(2?6)?y(2?6)?xy，所以y?(x?2)． …………6分 224x?216?23?1x2?xy =?⑵△AOB的面积S?xysin75? ………………………8分
282x?23?143?1（x?2??4)≥?8?4(3?1)． = ……………12分 2x?22即当且仅当x?4时取等号，此时y?42．
故OA?4km，OB?42km时，△OAB面积的最小值为4(3?1)km2． …………14分 1),B(?2，1). ………………………………………………………2分 18．⑴易求A(2，?????????????x?2(m?n)x022?y0?1.由OP?mOA?nOB,得?0设P(x0，, y0),则4y?m?n?04(m?n)211222n)在定圆x2?y2?上. …8分 所以?(m?n)?1,即m?n?.故点Q(m，224y1y21??. y1)，N(x2，y2),则⑵设M(x1，x1x24平方得x12x22?16y12y22?(4?x12)(4?x22),即x12?x22?4. ………………………10分 因为直线MN的方程为(x2?x1)x?(y2?y1)y?x1y2?x2y1?0 , 所以O到直线MN的距离为d?12|x1y2?x2y1|(x2?x1)?(y2?y1)22, ………………………12分
所以△OMN的面积S?MN?d?|x1y2?x2y1|?121x12y22?x22y12?2x1x2y1y2 2x22x1211122x1(1?)?x2(1?)?x12x22==x12?x22?1. 24422故△OMN的面积为定值1. ………………………………………16分
19．⑴因为g?(x)?2x，所以xg?(x)?g(x)?2x2?(x2?1)?x2?1?02在(0,??)上恒成立，
即xg?(x)?g(x)在(0,??)上恒成立，所以g(x)?x?1是A型函数．………………2分
11?a1?a1?a?2(x?0)，由xh?(x)?h(x)，得ax?1??ax?3?lnx?， xxxx因为x?0，所以可化为2(a?1)?2x?xlnx，
⑵h?(x)?a??3令p(x)?2x?xlnx，p?(x)?3?lnx，令p?(x)?0，得x?e，
?3当x?(0,e)时，p?(x)?0，p(x)是减函数； ?3当x?(e,??)时，p?(x)?0，p(x)是增函数，
1?3e．………………4分 21?x①当a?0时，由h?(x)?2?0，得x?1，所以增区间为(0,1)，减区间为(1,??)；
x1?aa(x?)(x?1)a②当a?0时，由h?(x)??0，得0?x?1， x2所以p(x)min?p(e)??e，所以2(a?1)??e，a?1??3?3?3 8 所以增区间为(0,1)，减区间为(1,??)； ③当0?a?④当a?11?a1?a1?a,??)，减区间为(,1)；,1)，(时，得x?1，或x?，所以增区间为(0
2aaa1时，h?(x)≥0，所以，函数增区间为(0,??)； 21?aa(x?)(x?1)11?31?aax?⑤?a?1?e时，由h?(x)?，得，或x?1， ?0222ax1?a1?a)，减区间为(,1)． …………………………10分 所以增区间为(1,??)，(0,aa?()ffx?x()⑶证明：函数f(x)是(0,??)上的每一点处都有导数，且x设F(x)?在(0,??)上恒成立，
f(x)xf?(x)?f(x)?0在(0,??)时恒成立， ，F?(x)?xx2f(x)在(0,??)上是增函数， ………………………………………12分 x所以函数F(x)?因为x1?0,x2?0，所以x1?x2?x1?0,x1?x2?x2?0，
x1),F(x所以F(x1?x2)?F(1x?2)F?(x)2，即f(x1?x2)f(x)f(xx?)fx()?1,12?2x1?x2x1x1?x2x2，14分
所以f(x1)?x1f(xxf(x?x)1?x2),f(x2)?212)?f(x，两式相加，得f(x1)?f(x2x1?x2x1?x21?x2)，16分
20．⑴当k?3，a1a2a3?6则a1?a2?a3?6．
设cn?a3n?2?a3n?1?a3n，由an?3?3?an，得cn?1?cn?9，所以数列{cn}是公差为9的等差
12?11?9?666．………………………………4分 2⑵若k?2时，a1?a2?a1?a2，又a1?a2， 数列，故S36?c1?c2???c12?12?6?所以a1?a2?2a2，所以a1?1，此时1?a2?a2，矛盾． ………………………………6分 若k?3时，a1?a2?a3?a1?a2?a3，所以a1?a2?a3?3a3，a1?a2?3，
所以a1?1,a2?2,a3?3，满足题意． ……………………………………………………8分
?a若k≥4时，a1?a2???ak?a1?a2???ak，所以a1?a2???ak?kak，即a1?a2??k1??k，
又因为a1?a2???ak?1?1?2???(k?1)≥2k?2?k，所以k≥4不满足题意．……10分 所以，a1?1，a2?2，a3?3，且an?3?3?an，
9 所以a3n?2?a1?3(n?1)?3n?2，a3n?1?a2?3(n?1)?3n?1，a3n?a3?3(n?1)?3n， 故an?n． ………………………………………………………………………………12分 ⑶又bn?bn?1??21?()所以
12an?8 所以bn?1?bn?2??21?()12an?1?8
1bn?21?，所以?b2n?,?b2n?1?都是以为公比的等比数列,
2bn2?1?61n23?2?(), n≥1,n为奇数,??2所以bn?? …………………………………………14分
n??14?(1)2?1, n≥2,n为偶数.??2令bn?bn?1?1，即?21?()12n?811?1，()n?8?，所以n≥13
221，?，b11?b12?1,b13?b14?1,b15?b16?1， n为奇数时有,b1?b2?1,b3?b4?1从而T2?T4???T12,T12?T14??，
n为偶数时，有b2?b3?1,b4?b5?1,?,b12?b13?1,b14?b15?1,b16?b17?1，
从而T1?T3???T13,T13?T15??，
注意到T12?0,T13?0，且T13?b13?T12?3T12?T12，
所以数列?bn?的前n项积Tn最大时n的值为13． ……………………………
10