（2）∵V?V半球?V圆柱2V??r323??r3??r2h，∴h?， ┄┄┄8分 23?r ∴S?S半球?S圆柱侧?S圆柱底?2?r2?2?rh??r2
2V??r32V5?r223? ?2?r?， ┄┄┄10分 ?3?r?2r3?r2V10?r3V3 ∴S'??2?，令S'?0得r?时表面积有最小值， ┄┄┄13分
r35?2V??r3hV2523 此时??????1． r?r3?r3333即圆柱的高与底的比为1时，制造这种储油罐的成本最低． ┄┄┄15分
18．（1）依题意，直线l的斜率存在，
因为 直线l过点M(?2,0)，可设直线l：y?k(x?2)．
????????因为P,Q两点在圆x?y?1上，所以 OP?OQ?1，
22????????????????????????11因为 OP?OQ??，所以 OP?OQ?OP?OQ?cos?POQ?? .
221?所以 ?POQ?120 所以 O到直线l的距离等于．
2所以
|2k|115. ?， 得k??215k?12所以 直线l的方程为x?15y?2?0或x?15y?2?0． …………6分
?????????（2）因为?OMP与?OPQ的面积相等，所以MQ?2MP，
?????????设 P(x1,y1)，Q(x2,y2)，所以 MQ?(x2?2,y2)，MP?(x1?2,y1)．
所以??x2?2?2(x1?2),?x2?2(x1?1), 即? （*）
y2?2y1,?y2?2y1.??x12?y12?1,因为 P，Q两点在圆上，所以?2 2?x2?y2?1.7?x??，221??x1?y1?1,8?把（*）代入得? 所以 ?22?4(x1?1)?4y1?1.?y??15．1?8?故直线l的斜率k?kMP??1515， 即k??． ………13分 9919．（1）∵a?1，∴f(x)在区间[1,3]上单调递增，∴f(x)?[f(1),f(3)]， ┄┄3分
∴当x?[1,3]时，m?n?f(3)?f(1)? （2）解法一
∵当x?0时，f(x)?x?44即m?n的最小值是； ┄┄5分 33a在(0,a]上单调递减，在[a,??)上单调递增， x1?a?16?f(1)?m? ∴????a?15 ┄┄┄6分 a3??16f(3)?m??3 ①当a?1，即0?a?1时，f(x)?x? ∴f(1)?n，a?7（舍去）； ②当1?a在[1,3]单调递增， xa?3，即1?a?9时，f(x)?x?a的最小值是2a， x ∴2a?n，a?16（舍去）； ③当a?3，即a?9时， f(x)?x?a在[1,3]单调递减， x ∴f(3)?n，a?15． ┄┄┄9分 综上可得：a?15． ┄┄┄10分 解法二 当m?16时，x?a?16恒成立，即a?16x?x2恒成立， x∴a??x?16x,x??1,3?2??min?15； ┄┄┄7分
当n?8时，x?a?8恒成立，即a?8x?x2恒成立， x∴a??x?8x,x??1,3?2??max?15； ┄┄┄9分
综上可得：a?15． ┄┄┄10分 （3）①若a?1，即0?a?1时，f(x)?x?a在[1,3]单调递增， x2?1?m?n?f(3)?f(1)?2?a ∴?3，无解； ┄┄┄11分
?0?a?1a ②当1?a?3即1?a?9时f(x)?x?在[1,a]递减，在[a,3]递增，
x ∴???1?m?n?f(3)?f(a)??1?m?n?f(1)?f(a)或?
???1?a?3?3?a?9 ∴12?63?a?4 ┄┄┄13分 ③当a?3，即a?9时，函数f(x)在区间[1,3]上单调递减，
2?1?m?n?f(1)?f(3)?a?2 ∴?，无解； ┄┄┄14分 3?a?9 综上可得：12?63?a?4 ┄┄┄16分
20．（1）∵an?Sn?a(n?1)∴Sn?nan?an(n?1)，an?1?Sn?1?Sn， ┄┄┄2分 n ∴an?1?[(n?1)an?1?a(n?1)n]?[nan?an(n?1)]
化简得：an?1?an?2a（常数），
∴数列{an}是以1为首项，公差为2a的等差数列； ┄┄┄4分
（2）由（Ⅰ）知an?1?2a(n?1)，又∵bn?3n?(?1)nan，bn?bn?1，
∴3n?(?1)nan?3n?1?(?1)n?1an?1，∴(?1)n[1?(2n?1)a]?3n
3n?1 ①当n是奇数时，∵?[1?(2n?1)a]?3，∴a??，n?1,3,5,7,?
2n?13n?1 令f(n)??，∴a?f(n)max
2n?13n?2?13n?1?4(4n?3)3n?4 ∵f(n?2)?f(n)?????0
2n?32n?1(2n?1)(2n?3) ∴f(1)?f(3)?f(5)???f(n)??，且f(1)??4，∴a??4； ┄7分
n3n?1 ②当n是偶数时，∵1?(2n?1)a?3，∴a?，n?2,4,6,8,?
2n?13n?1 令g(n)?，∴a?g(n)min
2n?13n?2?13n?14(4n?3)3n?4 ∵g(n?2)?g(n)????0
2n?32n?1(2n?1)(2n?3)88 ∴g(2)?g(4)?g(6)???g(n)??，且g(2)?，∴a?g(2)?；
338 综上可得：实数a的取值范围是(?4,)． ┄10分
3n （3）由（Ⅰ）知，an?n，又∵cn?，
n?2011 设对任意正整数k，都存在正整数p,q，使ck?cpcq，
n ∴
kpqk(q?2011)??，∴p? ┄┄┄12分
k?2011p?2011q?2011q?k 令q?k?1，则p?k(k?2012)（或q?2k,p?2k?2011）
∴ck?ck(k?2012)?ck?1（或ck?c2k?2011?c2k） ┄16分