北京信息科技大学 2010-2011学年第2学期
《高等数学》176学时课程期中考试试题（答案）
一、填空题（共10分，每小题2分）
1．向量 a?(1,1,1)的方向余弦cos??13?13,cos??13,
cos??.
x?32y1z?152. 求过点(4,?1,3)且平行于直线
是
x?42?y?11?z?35??的直线方程
3．将yoz面的抛物线 y2?3z 绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程
是
x?y?3z222
2??z?4. 曲线C:???z?4?x?y22在xoy面的投影曲线是
3(x?y)22?x2?y2?1??z?0
16?35. 设I???D4?x?ydxdy D:x2?y2?4由几何意义知I?
二、解答题（共63分，每小题7分）
1. 已知A(1,?1,2),B(2,0,3),C(3,1,3)三点，求同时垂直于AB与BC的单位
向量
解：由已知得：AB?(1,1,1) ，BC?(1,1,0)
?i?j11?k1?(?1,1,0) 0 AB?BC?11 同时垂直于AB与BC的单位向量为
?AB?BC1e????(?1,1,0)
2|AB?BC|2. 已知u?x2y?zy?exz, 求du
1
解：du??u?xdx??u?yxzdy??u?zdz
?(2xy?ze)dx?(x?2zy)dy?(21y?xexz)dz
3. 已知z?xf?x?y,x 解：
?z?x2?, 其中f具有二阶连续偏导数，求,.
?x?x?y?z?z2?fx?y,x?2??x(f1??1?f2??2x)
?z?x?y2???1?f21???2x) ?f1??x(f11?z?x?z?y4. 设z?z(x,y)由方程z3?2xz?y?0所确定，求解：方程两边分别对x和y求偏导数得 3z23z2,
?z?x?2z?2x?z?x?0 ?
?z?x?2z3z?2x2
?z?y?2x?z?y?1?0 ?
?z?y??13z?2x2
5. 求曲面ez?z?xy?3在点(2,1,0)处的切平面 解：令F(x,y,z)?ez?z?xy?3?0
曲面在点(2,1,0)处的法向量为
?zn|(2,1,0)?(Fx,Fy,Fz)|(2,1,0)?(y,x,e?1)|(2,1,0)?(1,2,0)
所以曲面在点(2,1,0)处的切平面方程为
(x?2)?2(y?1)?0?(z?0)?0 即 x?2y?4?0
6. 问函数u(x,y,z)?xy2z在点P(1,?1,2)处沿什么方向的方向导数最大？
并求此方向导数的最大值
答：函数u(x,y,z)?xy2z在点P(1,?1,2)处沿梯度方向的方向导数最大，
且 gradu|(1,?1,2)?????u??x,?u?y,?2?u?2???yz,2xyz,xy??z??(1,?1,2)??? ??(1,?1,2) 2
gradu|(1,?1,2)?(2,?4,1)
方向导数的最大值为梯度的模 gradu|(1,?1,2)?7. 求函数z?x3?y3?3xy的极值.
2??zx?3x?3y?0解: 令?2z?3y?3x?0?y?21
解得驻点(0,0),(1,1)
??6yC?z?yy??6x,又A?z?xx???3,B?z?xy
又(AC?B2)|(0,0)??9?0，所以(0,0)不是极值点
?|(1,1)?6?0 又(AC?B2)|(1,1)?27?0，又A?z?xx所以(1,1)是极小值点，且f极小?f(1,1)??1
8．交换二次积分?dy?022yy2f?x,y?dx的积分次序
?y2?x?2y 解: 积分区域为 D:? y—型区域 （如图）
?0?y?20?x?4??又积分区域为D可表示为 D:?x
?y?x??2
?dy?022yy2
f?x,y?dx??40dx?xx2f?x,y?dy
2?x?y.
229．将三重积分???f?x,y,z?dv? ?:x2?y2?z?化为柱面坐标系下的三次积分
?z??解:解方程组 ???z?
?x2?y2?1 得xoy面投影曲线:? 22z?0?2?x?yx?y3
22 于是将Ω投影到xoy面得投影区域Dxy:x2?y2?1（如图）
zz?2?x?y22z?x?y22oyx
?0???2?? 利用柱面坐标Ω可表示为 ?:?0?r?1
?2?r?z?2?r???f?x,y,z?dv???2?0d??10rdr?2?rr2f(rcosθ,rsinθ,z)dz
三、计算下列各题(27分) 1．计算??(xD2?y)dxdy其中D由曲线x?y?1,222x?y?422及直线
y?x,x?0所围成的闭区域. (9分)
解：如图所示区域D?D1?D2用极坐标表示为
y D1 oD2 y y=x x
???????D1:?42?1?r?2?
3??5????? D2:?42?1?r?2?4
???(xD2?y)dxdy?2??2d??23?41r?rdr?2?
5?42d??212r?rdr
?15?16?15?16?15?82．计算??eDx2dxdy,其中D由y?x,x?1及y?0所围成的闭区域.(9分)
解：如图所示区域D
y1y?xDo?0?x?1 将区域D看作x—型区域, D:?
0?y?x?1x
??Dex2dxdy??210dx?e02xx2dy??210xex2dx?121ex2?012(e?1)
3．求由曲面z?x?y,x?y?x,z?0所围成的立体体积2.(9分)
解法1：(利用二重积分计算)
zz?0z?x?y22y0Dx
5
V???Dx?ydxdy，其中区域D22：x2?y2?x（如图所示）
????????用极坐标表示为D:?22?0?r?cos???
V???Dx?ydxdy?22?2??2d??cos?0r?rdr?49
解法2：(利用三重积分计算）设曲面所围闭区域为?，则
????????22?dv 其中?:?0?r?cos?
?0?z?r???V?????V????dv???2??2d??co?s0rdr?dz?0r49
6