不等式的解法
一，基础知识
①穿针引线法（穿根法） ②一元一次不等式
?b??,????时解集为?a一元一次不等式ax>b解的讨论：对ax>b形式的不等式，当a>0
b????,??a??。时解集为当
当a<0a=0且b<0时解集为R当a=0且b≥0时，解集为?
③一元二次不等式
④分式不等式
f(x)g(x)?0?f(x)g(x)?0;?f(x)g(x)?0?0??g(x)?g(x)?0 f(x)⑤无理不等式
f(x)??f(x)?0????定义域g(x)??g(x)?0???f(x)?g(x)○1
?f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0?2?f(x)?[g(x)] ○2
?f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0?2?f(x)?[g(x)]?f(x)?0 ??g(x)?0 ○3
⑥绝对值不等式
○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化
g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)??g(x)?0|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同时为0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)
⑦对数指数不等式
指数不等式：转化为代数不等式
aaf(x)f(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb
对数不等式：转化为代数不等式
loga?f(x)?0?f(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;?f(x)?g(x)?loga?f(x)?0?f(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?⑧含参不等式
1.已知参数范围求不等式的解集；
2.满足不等式的解集的参数的取值范围。（存在和恒成立的区别）
二、典型例题
题型一（穿根法）
例1 解不等式：（1）2x3?x2?15x?0；（2）(x?4)(x?5)2(2?x)3?0．
解：（1）原不等式可化为x(2x?5)(x?3)?0 把方程x(2x?5)(x?3)?0的三个根x1?0,x2??52,x3?3顺次标上数轴．然后从右
上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．
∴原不等式解集为?x???5??x?0或x?3? 2?（2）原不等式等价于
(x?4)(x?5)(x?2)?0?x??5?x?5?0????(x?4)(x?2)?0??x??4或x?223∴原不等式解集为
?xx??5或?5?x??4或x?2?
题型二（一元一次不等式） 例2
已知关于x的不等式(a?b)x?(2a?3b)?0的解集为
(??,?13)，求关于x的不
等式(a?3b)x?(b?2a)?0的解集。
题型三（一元二次不等式）
例3.已知不等式?x2?2x?3?0的解集为A，不等式x2?x?6?0的解集B，不等式x2?ax?b?0的解集是A?B,那么a?b等于 （ ）
变式：函数y??x?3x?4xx2的定义域为_____________________
?1?例4已知关于
的不等式ax2?bx?c?0的解集是?xx??2或x???，求
?ax2?bx?c?0的解集。
变式：已知不等式ax2?bx?c?0的解集为(?,?),且0????，cx2?bx?a?0的解集。
例5 解关于x的不等式x2?(a?a2)x?a3?0．
解：原不等式可化为(x?a)(x?a2)?0． (1)当a?a2（即a?1或a?0）时，不等式的解集为：
?xx?a或x?a2?；
(2)当a?a2（即0?a?1）时，不等式的解集为：
?xx?a2或x?a?；
2?求不等式
(3)当a?a2（即a?0或1）时，不等式的解集为：
?x变式：解关于x的不等式ax2
x?R且x?a?．
?(a?1)x?1?0．
例6，是否存在实数m，使不等式
x?8x?202?m2?1?x?2?m?1?x?12?0对于一切实数x恒
成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由
2练题一 （1）对任意x?[?1,1]，函数f(x)?x?(a?4)x?4?2a的值恒大于零，
求a的取值范围；
2（2）对任意a?[?1,1]，函数f(x)?x?(a?4)x?4?2a的值恒大于零，
求x的取值范围。
题二 是否存在实数m，使不等式
x?8x?202对于一切实数x恒成?0?m22?1?x?2?m?1?x?12立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由
题三 不等式?a-2?x?2(a-2)x-4?0对于x∈R恒成立，则a的取值范围是（） A.(-∞,2] B.(-∞，-2) C.(-2,2) D.(-2,2]
题型三(分式不等式) 例7解不等式
x?6x?512?4x?x22?0．
解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：
22??,?(x?1)(x?5)?0,?x?6x?5?0 ?x?6x?5?0,或????22??12?4x?x?012?4x?x?0?(x?2)(x?6)?0;??或??(x?1)(x?5)?0,?(x?2)(x?6)?0;
?1?x?5,?x?1,或x?5,?1?x?5,或x??2或???；x??2,或x?6???2?x?6或x?6．
∴原不等式解集是{xx??2，或1?解法二：原不等式化为
x?5，或x?6}．
(x?1)(x?5)(x?2)(x?6)?0．
画数轴，找因式根，分区间，定符号．
(x?1)(x?5)(x?2)(x?6)符号
∴原不等式解集是{xx??2，或1?练习题 解不等式
x2x?5，或x?6}。
?2x?223?2x?x?x．
例8，若a?1?0，则不等式练习题 若不等式
x?ax?x?12x?x?bx?ax?1的解集为多少。
13?x?x?12??)，求a、b的值． 的解为(??，)?(1，